15collemaple.html

Maple Colle XV

> restart;

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and 
trace have been redefined and unprotected

> A:=matrix(2,2,[1,2,0,1]);

> B:=evalm(1/sqrt(2)*matrix(2,2,[1,1,1,-1]));

> C:=evalm(1/25*matrix(3,3,[-16,12,-15,12,-9,-20,15,20,0]));

> DD:=matrix(3,3,[1/2+sqrt(3)/4 , sqrt(2)/4 , 1/2-sqrt(3)/4 , -sqrt(2)/4, sqrt(3)/2, sqrt(2)/4, 1/2-sqrt(3)/4 , -sqrt(2)/4 , 1/2+sqrt(3)/4]);

XVI.1

> isométrie:=proc(M::matrix)
local tMM,Id,n,m;
tMM:=evalm(transpose(M)&*M);
tMM:=map(simplify,tMM);
# On voit en effet sur l'exemple de la matrice DD que les coefficients ont besoin d'être simplifiés
n:=rowdim(M);m:=coldim(M);
Id:=diag(1$n);
if n<>m then "Il faut au moins que la matrice soit carrée !"
elif not(equal(tMM,Id)) then "Ce n'est pas une isométrie"
elif det(M)=1 then "C'est une isométrie directe"
else "C'est une isométrie indirecte"
fi;
end:

> isométrie(A);

> isométrie(B);

> isométrie(C);

> isométrie(DD);

> isométrie(matrix([[1,2,3]]));

>

XVI.2

> axe:=proc(M::matrix)
if isométrie(M)<>"C'est une isométrie indirecte" or rowdim(M)<>2
then "Erreur, ce n'est pas une matrice de réflexion plane"
else kernel(M-1)
fi;
end:

> axe(A);

> axe(B);

>

> réflexion2:=proc(V::vector)
local e1,e2,x1,x2,P,R;
e1:=evalm(1/norm(V,2)*V);
# On rend V unitaire
x1:=e1[1];x2:=e1[2];
e2:=vector([-x2,x1]);
# On construit le vecteur directement orthogonal à e1
P:=concat(e1,e2);
# Matrice de passage de la base canonique vers (e1,e2)
R:=matrix(2,2,[1,0,0,-1]);
# Matrice de la réflexion dans la base (e1,e2)
evalm(P&*R&*inverse(P));
end:

> v:=vector([-2,5]): réflexion2(v);

>

XVI.3

> w:=vector([1,-1,1]);

> w0:=evalm(1/norm(w,2)*w);

> u:=vector([1,0,-1]);

> u0:=evalm(1/norm(u,2)*u);

> v0:=crossprod(w0,u0);

> P:=concat(u0,v0,w0);

> # P est la matrice de passage de la base canonique vers la base orthonormale (u0,v0,w0);

> S0:=diag(1,1,-1);

> # S0 est la matrice de la réflexion dans la base (u0,v0,w0);

> S:=evalm(P&*S0&*transpose(P));

> isométrie(S);

> R0:=matrix(3,3,[cos(t),-sin(t),0,sin(t),cos(t),0,0,0,1]);

> R:=evalm(P&*R0&*transpose(P)):

> RPi_2:=subs(t=Pi/2,evalm(R)):

> map(simplify,RPi_2);

> RPi_6:=subs(t=Pi/6,evalm(R)):

> map(simplify,RPi_6);

> isométrie(RPi_6);

>

XVI.4

Étude de C

> isométrie(C);

Ainsi C est une réflexion ou une composée rotation réflexion. Cherchons les invariants.

> Inv:=kernel(C-1);

Donc C est une composée rotation réflexion, l'axe de la rotation étant orthogonal au plan de la réflexion. Cherchons les vecteurs changés en leurs opposé (ceux de l'axe de la rotation)

> Opp:=kernel(C+1);

> w:=op(Opp):w0:=evalm(1/norm(w,2)*w);

On choisit un vecteur unitaire orthogonal à w0. En orientant l'axe par w0, l'angle de la rotation est donné par les formules classiques (accompagnées d'une figure)

> u0:=vector([0,0,1]);

> v0:=crossprod(w0,u0);

> dotprod(u0,C&*u0);

Donc le cosinus de l'angle est 0. La rotation est d'angle +/- Pi/2

> dotprod(v0,C&*u0);

Ainsi C est la matrice de la composée de
la réflexion de plan Vect(u0,v0) (orthogonal à w0)
la rotation d'axe Vect(w0), orienté par w0, d'angle -Pi/2

>

Étude de DD

> isométrie(DD);

C'est donc la matrice d'une rotation. On en détermine l'axe

> Inv:=kernel(DD-1);

> w:=op(Inv):w0:=evalm(1/norm(w,2)*w);

On oriente l'axe Vect(w0) par w0 et on choisit un vecteur unitaire orthogonal à w0.

> u0:=vector([0,1,0]);

> dotprod(u0,DD&*u0);

> alpha:=arccos(%);

On connaît donc le cosinus de l'angle, donc l'angle au signe près. Déterminons le sinus pour en avoir le signe.

> dotprod(crossprod(w0,u0),DD&*u0);

> alpha:=-alpha;

Il s'agit donc de la rotation d'axe dirigé et orienté par w0, d'angle -Pi/6

>

> restart;

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and 
trace have been redefined and unprotected

XVI.5

> M:=evalm(a*matrix(3,3,[1,1-b,1+b,1+b,1,1-b,1-b,1+b,1]));

C'est une matrice de rotation si et seulement si elle est orthogonale et son déterminant est +1

> tMM:=evalm(transpose(M)&*M-1);

M est orthogonale si et ssi cette matrice est nulle. On utilise un ensemble pour éliminer tout de suite les équations en double. À la fin apparait l'équation pour que M soit directe.

> eqs:={seq(seq(tMM[i,j],i=1..3),j=1..3),det(M)-1};

$eqs := {a^2+a^2*(1+b)^2+a^2*(1-b)^2-1, 9*a^3*b^2-1,...$
$eqs := {a^2+a^2*(1+b)^2+a^2*(1-b)^2-1, 9*a^3*b^2-1,...$