10collemaple.html

Colle d'informatique X

> restart;

X.1

> expr:=(x-3)*(x^2+1)*(1+x);

> expand(expr);

> sort(%,x);

> restart;

X.2

> P:=X^4+2*X^3-4*X^2-5*X-6;

> factor(P);

Ceci est la factorisation de Gauss car n'a pas de racine réelle

> factor(P,complex);

Remarquons que cette factorisation provoque une recherche numérique.

> factor(P,{I,sqrt(3)});

C'est la bonne façon de s'en sortir, mais il faut avoir l'intuition que la factorisation fera intervenir des termes en I et en .

> restart;

X.3

> A:=n->sin(2*a)*X^n-sin(n*a)*X^2+sin((n-2)*a);

> B:=X^2-2*cos(a)*X+1;

Essayons brutalement

> rem(A(n),B,X);

Error, (in quo) arguments must be 
polynomial in X

Bien sûr, on pouvait s'attendre à ce que le calcul en soit pas possible : le degré de A dépend de n. Faisons le calcul pour les dix premières valeurs de n

> for k from 1 to 10 do [k,rem(A(k),B,X)] od;

Cela ne nous dit pas grand chose. Mais on voit que par les formules de trigonométries, le premier reste est nul. Le second l'est aussi. Simplifions les expressions trouvées.

> for k from 1 to 10 do [k,combine(rem(A(k),B,X))] od;

Il semble que le reste soit nul... Ce n'est pas une preuve, mais c'est une conjecture légitime. Démontrons-le en montrant que les racines de B sont aussi racines de A.

> solve(B,X);

est bien définie sur l'ensemble C , c'est-à-dire qu'ici les racines sont et son conjugué.

> rac1:=exp(I*a);rac2:=exp(-I*a);

> `A(rac1)`:=subs(X=rac1,A(n));

Attention ! Les accents entourant A(rac1) signifie que c'est un nom de variable, et rien d'autre. Remarquez qu'il est bien choisi, mais il ne suffit pas de l'écrire pour évaluer A en rac1, puisque A n'est pas une fonction de X mais une expression dépendant de X.

> assume(n,integer);

> combine(`A(rac1)`);

> evalc(%);

> combine(%);

A étant à coefficients réels, le conjugué de rac1 est aussi racine de A. B étant scindé dans C, de degré 2, on a montré que toutes les racines de B sont racines de A et donc que B divise A.

> restart;

X.4

> P:=X^4-2*X^3+X^2-2*X+1;

> factor(P);

> fsolve(P);

Il semble y avoir deux racines réelles, et donc deux racines complexes conjuguées (coefficients réels)

> solve(P);

Ainsi, il y a quatre racines non exprimées... Essayons de les exprimer avec allvalues

> allvalues(RootOf(P));

Les racines semblent s'exprimer avec

> factor(P,sqrt(2));

Voilà qui est intéressant, mais pas complet puisqu'il semble y avoir deux racines réelles. Les racines s'expriment avec .

> factor(P,sqrt(2*sqrt(2)-1));

Et voici la décomposition de Gauss de P

> restart;

X.5

> P:=X^(2*n)-n^2*X^(n+1)+2*(n^2-1)*X^n-n^2*X^(n-1)+1;

> Ptilde:=unapply(P,X);

> Ptilde(1);

> Ptildeprime:=D(Ptilde);

> Ptildeprime(1);

> simplify(%);

> Ptildeseconde:=D(Ptildeprime);

> Ptildeseconde(1);

> simplify(%);

> Ptilde3:=D(Ptildeseconde);

> Ptilde3(1);

> simplify(%);

> Ptilde4:=D(Ptilde3);

> Ptilde4(1);

> simplify(%);

Ainsi, 1 est racine d'ordre 4 si cette expression est non nulle

> solve(%);

On fait donc une étude directe pour les cas n=0 et n=1

> subs(n=0,P);

> subs(n=1,P);

Donc ces deux cas particuliers ne sont pas très intéressants, puisque P est le polynôme nul

> restart;

X.6

> P:=X^4+a*X^3+sqrt(3)*X^2+X+b;

> image:=subs(X=2+2*I,P);

> assume(a,real);assume(b,real);

> solve(image);

> solve({Re(image),Im(image)},{a,b});

> assign(%);

Ceci permet l'affectation des valeurs obtenues aux inconnues a et b

> 'a'=a;'b'=b;

> P;

> solve(P);

> evalf(-911+8*sqrt(3));

Ainsi il n'y a pas de racine réelle.

> factor(P);

Ceci est la décomposition de Gauss de P

> factor(P,{I,sqrt(-911+8*sqrt(3))});

Et cela la décomposition de d'Alembert.

> restart;

X.7

> P:=m->X^3+X^2+m*X+6;

Première méthode.

> s:=[solve(P(m),X)];

Même si le résultat n'est pas très esthétique, on a rangé toutes les racines dans une liste, et on va pouvoir les utiliser pour traduire les conditions et déterminerles valeurs de m qui conviennent.

> solve(s[1]+s[2]=s[1]*s[2],m);