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\def\info{informatique}

\titrecourant={\bf PTSI}
\partiecourante={\bf PTSI}
\premiertitre={\bf CLASSES SUP\'ERIEURES PTSI ET SP\'ECIALES PT}
\bg

\cl{{\largeb OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATH\'EMATIQUES}}
\bg

\cl{{\largeb }}
\bg

\bf

\TIT{I OBJECTIFS DE FORMATION}
\bg

\rm

{\bf{1) Objectifs g\'en\'eraux de la formation}}
\bg

Dans la fili\`ere PT, les math\'ematiques constituent conjointement une
discipline scientifique \`a part enti\`ere, d\'eveloppant des concepts, des
r\'esultats, des m\'ethodes et une d\'emarche sp\'ecifiques, et une discipline
fournissant des connaissances et des m\'ethodes n\'ecessaires \`a la physique, \`a
l'informatique, \`a la chimie et aux sciences industrielles.
\md

La r\'eflexion sur les concepts et les m\'ethodes, la pratique du raisonnement
et de la d\'emarche math\'ematique consituent un objectif majeur. Les \'etudiants
doivent conna\^{\i}tre les d\'efinitions et les \'enonc\'es des th\'eor\`emes figurant au
programme, savoir analyser la port\'ee des hypoth\`eses et des r\'esultats, et
savoir mobiliser leurs connaissances pour l'\'etude de probl\`emes. Les
d\'emonstrations qui sont utiles \`a une bonne compr\'ehension du cours sont au
programme. En revanche, certains r\'esultats puissants utiles aux sciences
de l'ing\'enieur sont admis.
\md

a) {\sl Objectifs de la formation}
\md

La formation est con\c{c}ue en fonction de quatre objectifs essentiels.

- D\'evelopper conjointement l'intuition, l'imagination, le raisonnement et
la rigueur.

- Promouvoir la r\'eflexion personnelle des \'etudiants sur les probl\`emes et
les ph\'enom\`enes math\'ematiques, sur la port\'ee des concepts, des hypoth\`eses,
des r\'esultats et des m\'ethodes, au moyen d'exemples et de contre exemples;
d\'evelopper ainsi une attitude de questionnement et de recherche.

- Exploiter toute la richesse de la d\'emarche math\'ematique: analyser un
probl\`eme, exp\'erimenter sur des exemples, formuler une conjecture, \'elaborer
et mettre en \oe uvre des concepts et des r\'esultats th\'eoriques, r\'ediger une
solution rigoureuse, contr\^oler les r\'esultats obtenus et \'evaluer la
pertinence des concepts et des r\'esultats au regard du probl\`eme pos\'e, sont
des \'el\'ements indissociables de cette d\'emarche; valoriser ainsi
l'interaction entre d'une part l'\'etude de ph\'enom\`enes et de probl\`emes
math\'ematiques, et d'autre part l'\'elaboration et la mise en \oe uvre des
concepts th\'eoriques, les phases d'abstraction et de mise en th\'eorie
interagissant donc constamment avec celles de passage aux exemples et aux
applications.

- Privil\'egier les probl\`emes math\'ematiques susceptibles de d\'evelopper la
r\'eflexion personnelle des \'etudiants et les capacit\'es de synth\`ese. En
particulier, on ne saurait en aucun cas se limiter \`a l'\'etude de probl\`emes
dont les \'enonc\'es sont ferm\'es et d'exercices mettant en \oe uvre des
techniques bien r\'epertori\'ees. Il est n\'ecessaire d'entra\^{\i}ner les \'etudiants \`a
se poser eux--m\^emes des questions, c'est--\`a--dire \`a prendre en compte une
probl\'ematique math\'ematique.
\md

b) {\sl Unit\'e de la formation scientifique}
\md

Il est important de mettre en valeur l'interaction entre les diff\'erentes
parties du programme d'une m\^eme discipline, tant au niveau du cours que des
th\`emes des travaux propos\'es aux \'etudiants. Plus largement, l'enseignement
d'une discipline scientifique est \`a relier \`a celui des autres disciplines
sous deux aspects principaux : organisation concert\'ee des activit\'es
d'enseignement d'une m\^eme classe; \'etude de questions mettant en \oe uvre
des interactions entre les champs de connaissances (math\'ematiques et
physique, math\'ematiques et informatique, math\'ematiques et sciences
industrielles$\ldots$).

La coop\'eration des enseignants d'une m\^eme classe ou d'une m\^eme discipline
et, plus largement, celle de l'ensemble des enseignants d'un cursus donn\'e,
y contribue de fa\c{c}on efficace, notamment dans le cadre des travaux
d'initiative personnelle encadr\'es.
\md

Il importe aussi que le contenu culturel des math\'ematiques ne soit pas
sacrifi\'e au profit de la seule technicit\'e. En particulier, les textes et
les r\'ef\'erences historiques permettent d'analyser l'interaction entre les
probl\`emes math\'ematiques et la construction des concepts, mettent en
\'evidence le r\^ole central jou\'e par le questionnement scientifique pour le
d\'eveloppement th\'eorique et montrent en outre que les sciences, et les
math\'ematiques en particulier, sont en perp\'etuelle \'evolution et que le
dogmatisme n'est pas la r\'ef\'erence en la mati\`ere.
\vfill\eject

{\bf{2) Architecture et contenus des programmes}}
\bg

a) {\sl Intentions majeures}
\md

Les contenus sont organis\'es autour de quatre intentions majeures.
\md

- R\'ealiser un \'equilibre global entre l'alg\`ebre, l'analyse et la g\'eom\'etrie.
Il va de soi, d'ailleurs, que cette s\'eparation traditionnelle n'est qu'une
commodit\'e de r\'edaction et ne doit pas faire oublier les interactions
nombreuses et \'etroites entre ces trois grands domaines des math\'ematiques.
Dans cette intention, les programmes sont pr\'esent\'es selon deux grandes
parties: analyse et g\'eom\'etrie diff\'erentielle, alg\`ebre et g\'eom\'etrie.
\md

- Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en
d\'egageant les id\'ees majeures et leur port\'ee, en fournissant des outils
puissants et efficaces, en \'evitant toute technicit\'e gratuite, et en
\'ecartant les notions qui ne pourraient \^etre trait\'ees que de fa\c{c}on
superficielle.
\md

- Mettre en valeur le caract\`ere plurivalent des concepts math\'ematiques.
Cette plurivalence s'inscrit dans un double mouvement: d'une part, l'\'etude
d'un domaine particulier vient enrichir le concept g\'en\'eral, gr\^ace au
langage et aux m\'ethodes propres \`a ce domaine; d'autre part, le concept
g\'en\'eral permet le transfert des connaissances d'un domaine d'application \`a
un autre. C'est dans cette perspective, et \`a l'oppos\'e de tout dogmatisme,
que les structures constituent un outil pour une meilleure compr\'ehension et
une meilleure pr\'ecision de la pens\'ee et fournissent des m\'ethodes pour
l'\'etude des probl\`emes math\'ematiques.
\md

- Donner un r\^ole tr\`es important aux travaux pratiques, dont la fonction est
double: indiquer le champ des probl\`emes et ph\'enom\`enes math\'ematiques \`a
\'etudier en relation avec les concepts figurant au programme; pr\'eciser les
m\'ethodes et les techniques usuelles exigibles des \'etudiants. En revanche,
les travaux pratiques ne doivent pas conduire \`a des d\'epassements de
programme prenant la forme d'une anthologie d'exemples dont la connaissance
serait exigible des \'etudiants.
\md

b) {\sl Secteur de l'analyse et de ses interventions}
\md

Dans ce secteur, le programme est centr\'e autour des concepts fondamentaux
de fonction, qui permet de mod\'eliser le comportement de mod\`eles continus,
et de suite (ou de s\'erie), qui permet de mod\'eliser le comportement des
ph\'enom\`enes discrets. Les interactions entre le continu et le discret sont
mises en valeur, notamment en seconde ann\'ee.

Le programme d'analyse combine l'\'etude des probl\`emes qualitatifs avec celle
de probl\`emes quantitatifs; il d\'eveloppe conjointement l'\'etude du
comportement global de suite ou de fonction avec celle de leur comportement
local ou asymptotique. Pour l'\'etude des solutions des \'equations, il combine
les probl\`emes d'existence et d'unicit\'e, les m\'ethodes de calcul exact, les
m\'ethodes d'approximation et les algorithmes de mise en \oe uvre. Pour
l'ensemble de l'analyse, il met l'accent sur les techniques de majoration.

En premi\`ere ann\'ee, la ma\^{\i}trise du calcul diff\'erentiel et int\'egral \`a une
variable et de ses interventions en g\'eom\'etrie diff\'erentielle plane
constitue un objectif essentiel.

En seconde ann\'ee, la repr\'esentation des fonctions, notamment par des s\'eries
(s\'eries enti\`eres, s\'eries de Fourier) et par des int\'egrales (notions sur les
transformations de Fourier et de Laplace et sur les int\'egrales
eul\'eriennes), l'approximation des fonctions, l'\'etude des \'equations
diff\'erentielles (notamment des syst\`emes autonomes, en relation avec la
g\'eom\'etrie diff\'erentielle), l'\'etude des fonctions de plusieurs variables
(\'egalement en interaction \'etroite avec la g\'eom\'etrie diff\'erentielle)
tiennent une place majeure.
\md

c) {\sl Secteur de l'alg\`ebre et de ses interventions}
\md

Dans ce secteur, le programme est centr\'e autour des concepts fondamentaux
de l'alg\`ebre lin\'eaire (points de vue g\'eom\'etrique et matriciel), tandis que
l'\'etude des anneaux et des corps ainsi que l'\'etude g\'en\'erale des groupes en
ont \'et\'e \'ecart\'ees.

Le programme met en \oe uvre les m\'ethodes de l'alg\`ebre lin\'eaire pour la
r\'esolution de probl\`emes issus, non seulement des autres secteurs de
l'alg\`ebre, mais aussi de l'analyse et de la g\'eom\'etrie.

En premi\`ere ann\'ee, le programme d'alg\`ebre et g\'eom\'etrie est organis\'e autour
de l'alg\`ebre lin\'eaire (espaces vectoriels, applications lin\'eaires,
alg\`ebres, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes
orthogonaux du plan et de l'espace) et de ses interventions en alg\`ebre, en
analyse et en g\'eom\'etrie affine et euclidienne du plan et de l'espace.

En seconde ann\'ee, le programme est organis\'e autour de l'alg\`ebre lin\'eaire
(r\'eduction des endomorphismes d'un espace vectoriel et des endomorphismes
sym\'etriques d'un espace vectoriel euclidien, r\'eduction des matrices).
\md

d) {\sl Secteur de la g\'eom\'etrie et de ses interventions}
\md

Une vision g\'eom\'etrique des probl\`emes impr\'egne l'ensemble du programme de
math\'ematiques car les m\'ethodes de la g\'eom\'etrie jouent un r\^ole capital en
alg\`ebre, en analyse et dans leurs domaines d'intervention: apports du
langage g\'eom\'etrique et des modes de repr\'esentation.
\vfill\eject

e) {\sl Articulation avec la physique, la chimie et les sciences
industrielles}
\md

En relation \'etroite avec les concepts propres \`a la physique, \`a la chimie et
aux sciences industrielles (m\'ecanique, \'electrocin\'etique, \'electronique,
automatique, optique, cin\'etique chimique), le programme valorise les
interpr\'etations cin\'ematiques et dynamiques des concepts de l'analyse et de
la g\'eom\'etrie, ainsi que leurs interpr\'etations en termes de signaux continus
ou discrets (vitesse et acc\'el\'eration, trajectoires et lignes de niveau,
\'equations diff\'erentielles mod\'elisant l'\'evolution de syst\`emes m\'ecaniques,
physiques ou chimiques). Ces interpr\'etations, conjointement avec les
interpr\'etations graphiques et g\'eom\'etriques, viennent en retour \'eclairer les
concepts fondamentaux de l'analyse.
\md

f) {\sl R\^ole de la pens\'ee algorithmique}
\md

En relation avec le programme d'informatique, l'ensemble du programme de
math\'ematiques valorise la d\'emarche algorithmique; il int\'egre la
construction et la mise en forme d'algorithmes et, sur des exemples, la
comparaison de leurs performances. En math\'ematiques, aucune connaissance
sur la th\'eorie des algorithmes n'est exigible des \'etudiants.

Les algorithmes associ\'es aux notions \'etudi\'ees dans le programme de
math\'ematiques en font partie, qu'ils soient mentionn\'es dans le texte m\^eme
du programme ou dans les travaux pratiques. En outre, de nombreux travaux
pratiques donnent lieu \`a l'exploitation du logiciel de calcul symbolique et
formel \'etudi\'e dans le programme d'informatique.
\md

g) {\sl Emploi des calculatrices}
\md

Cet emploi est d\'efini par la r\'eglementation en vigueur. Les \'etudiants
doivent savoir utiliser une calculatrice programmable dans les situations
li\'ees au programme de la classe et de la discipline consid\'er\'ees. Cet emploi
combine les capacit\'es suivantes, qui constituent un savoir--faire de base
et sont seules exigibles:

- savoir effectuer des op\'erations arithm\'etiques sur les nombres r\'eels et
savoir comparer deux nombres r\'eels;

- savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme de la
classe consid\'er\'ee et savoir programmer le calcul des valeurs d'une fonction
d'une ou plusieurs variables permis par ces touches;

- savoir programmer une instruction s\'equentielle, une instruction
conditionnelle et une instruction it\'erative comportant \'eventuellement un
test d'arr\^et.
\bg

{\bf{3) Conception et organisation de la formation}}
\bg

a) {\sl Organisation du travail de la classe}
\md

On ne saurait se borner \`a l'expos\'e, si parfait soit--il, de th\'eories
\'eventuellement suivies d'applications. Il convient au contraire de centrer
l'enseignement autour de l'\'etude de ph\'enom\`enes et de probl\`emes
math\'ematiques, les concepts et les d\'eveloppements th\'eoriques \'etant au
service de cette \'etude. En particulier, il est essentiel que
l'approfondissement th\'eorique ne soit coup\'e ni des probl\'ematiques qui le
sous--tendent, ni des secteurs d'intervention qui le mettent en jeu. Deux
objectifs essentiels sont \`a poursuivre:

- Promouvoir l'acquisition de m\'ethodes et entra\^{\i}ner les \'etudiants \`a
exploiter toute la richesse de la d\'emarche math\'ematique; la classe est
donc un lieu de d\'ecouverte, d'exploitation de probl\'ematiques, un lieu de
r\'eflexion et de d\'ebats sur les d\'emarches suivies, d'analyse des hypoth\`eses
d'un th\'eor\`eme et de la port\'ee des concepts mis en jeu et des r\'esultats
obtenus. Elle est aussi un lieu d'\'elaboration de synth\`eses ayant pour
triple objectif de d\'egager clairement les id\'ees et m\'ethodes essentielles,
de pr\'eciser leur port\'ee pour la r\'esolution de probl\`emes et, inversement,
d'analyser les principales m\'ethodes dont on dispose pour \'etudier un type
donn\'e de probl\`eme. Dans cette perspective, les enseignements combinent de
fa\c{c}on organique la formulation et l'analyse de probl\`emes, l'\'elaboration
de concepts, la pr\'esentation, la d\'emonstration et la mise en \oe uvre de
r\'esultats, ainsi que la mise en valeur de m\'ethodes.

- D\'evelopper les capacit\'es de communication. La pertinence des indications
\'ecrites et orales donn\'ees par le professeur et la qualit\'e de structuration
des \'echanges interpersonnels jouent ici un r\^ole essentiel: qualit\'es
d'\'ecoute et d'expression orale (formulation d'une question, d'une r\'eponse,
d'une id\'ee$\ldots$), qualit\'es de lecture et d'expression \'ecrite (ma\^{\i}trise
du tableau, prise de notes, analyse d'un \'enonc\'e, mise au point de la
r\'edaction d'un \'enonc\'e ou d'un raisonnement$\ldots$). La communication
utilise des moyens diversifi\'es: non seulement le tableau, dont la ma\^{\i}trise
est un \'el\'ement important, mais aussi le r\'etroprojecteur et l'ordinateur
connect\'e \`a un dispositif de projection appropri\'e.
\vfill\eject

b) {\sl Organisation du travail personnel des \'etudiants}
\md

Les travaux effectu\'es en dehors du temps d'enseignement, \`a la maison ou au
lyc\'ee, ont une importance capitale; leurs fonctions sont diversifi\'ees:

- L'\'etude du cours joue un r\^ole central. Son objectif est triple;
conna\^{\i}tre les concepts et r\'esultats essentiels, savoir analyser les
d\'emarches mises en jeu dans les d\'emonstrations et les techniques de
raisonnement, ma\^{\i}triser les m\'ethodes d'\'etude des probl\`emes. L'\'etude du
cours est donc indissociable de celle des probl\`emes.

- La r\'esolution d'exercices d'entra\^{\i}nement, combin\'ee avec l'\'etude du
cours, a pour fonction d'affermir les connaissances de base des \'etudiants
et d'\'evaluer leur capacit\'e \`a les mettre en \oe uvre sur des exemples
simples. La r\'esolution de tels exercices n'est donc pas un objectif en soi,
et tout exc\`es de technicit\'e doit \^etre \'evit\'e. La ma\^{\i}trise de ce type
d'exercices est une exigence valable pour l'ensemble des \'etudiants.

- L'\'etude de questions plus complexes, sous forme de pr\'eparation
d'activit\'es en classe ou de probl\`emes \`a r\'esoudre et \`a r\'ediger, alimente le
travail de recherche, individuel ou en \'equipe, et permet aux \'etudiants
d'\'evaluer leur capacit\'e \`a mobiliser leurs connaissances de fa\c{c}on
coordonn\'ee. Au sein d'une m\^eme classe, les th\`emes d'\'etude peuvent \^etre
diversifi\'es, en fonction du projet de formation des \'etudiants.

- Les travaux individuels de r\'edaction en temps libre (solution d'un
probl\`eme, mise au point d'exercices \'etudi\'es en classe, rapport de synth\`ese
sur un th\`eme d'\'etude, analyse critique d'un texte$\ldots$) visent
essentiellement \`a d\'evelopper les capacit\'es d'expression \'ecrite et de mise
au point d'un raisonnement. La qualit\'e de la r\'edaction et de la
pr\'esentation, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements, constituent des
objectifs tr\`es importants. Ces travaux de r\'edaction doivent donc \^etre
fr\'equents, mais leur longueur doit rester raisonnable. Leur contenu peut
\^etre diversifi\'e en fonction du projet de formation des \'etudiants.

- Les \'epreuves \'ecrites en temps limit\'e ont pour objectif principal de
pr\'eparer les \'etudiants aux \'epreuves \'ecrites des concours. Les connaissances
\`a mettre en \oe uvre dans ces \'epreuves ne doivent en aucun cas d\'epasser les
exigences mentionn\'ees par le programme. Quand il s'agit d'\'epreuves de
concours de longueur importante, le bar\^eme doit en tenir compte. En
premi\`ere p\'eriode des classes de premi\`ere ann\'ee, ces \'epreuves doivent \^etre
de taille raisonnable et de difficult\'e progressive, afin de ne pas
d\'ecourager les \'etudiants et de leur permettre de r\'ediger clairement une
solution.

- La recherche et l'exploitation (individuelle ou en \'equipe) de documents
contribue au d\'eveloppement des capacit\'es d'autonomie. Elle permet aussi de
d\'evelopper l'ouverture d'esprit, gr\^ace \`a la prise de connaissance de points
de vue diversifi\'es sur une m\^eme question, et les capacit\'es d'analyse
critique, gr\^ace \`a une analyse compar\'ee de ces points de vue. Elle permet
enfin aux \'etudiants d'approfondir leurs connaissances en compl\'ement des
travaux men\'es en classe ou en fonction de leurs centres d'int\'er\^et et de
leur projet de formation.

- La pr\'eparation et la mise en \oe uvre d'expos\'es vise \`a d\'evelopper les
capacit\'es d'organisation de la pens\'ee et les qualit\'es d'expression orale.
\md

c) {\sl \'Evaluation et notation des \'etudiants}
\md

La communication des objectifs \`a atteindre et la mise en \oe uvre de formes
diversifi\'ees d'\'evaluation peuvent aider de mani\`ere efficace les \'etudiants \`a
progresser, \`a se situer et \`a affiner un choix d'orientation.

La pertinence du calibrage de la notation constitue un objectif important;
ce calibrage doit \^etre \'etabli en relation avec les performances attendues
des \'etudiants des classes de premi\`ere ann\'ee dans les \'epreuves d'admission
en seconde ann\'ee ou celles attendues des \'etudiants de seconde ann\'ee dans
les \'epreuves de concours. Il convient d'\'eviter tant la surnotation,
g\'en\'eratrice d'illusion, que la sousnotation, g\'en\'eratrice de d\'ecouragement.
\bg

{\bf 4) Interpr\'etation et d\'elimitation des programmes}
\bg

a) {\sl Objectifs}
\md

Pour chacune des classes, les connaissances et les capacit\'es exigibles des
\'etudiants sont indiqu\'ees avec pr\'ecision, de fa\c{c}on \`a combattre l'inflation
th\'eorique autant que l'exc\`es de technicit\'e. Il importe de souligner la
n\'ecessit\'e imp\'erieuse de respecter les limites du programme, tant au niveau
de l'enseignement qu'\`a celui des concours. Un encyclop\'edisme relay\'e par la
pratique du bachotage irait totalement \`a l'encontre du but recherch\'e, qui
tend \`a privil\'egier une formation de l'esprit scientifique fond\'ee sur
l'approfondissement d'un noyau limit\'e de connaissances fondamentales. Il
importe que cet \'etat d'esprit trouve sa traduction dans les sujets propos\'es
aux concours.
\md

b) {\sl Organisation du texte des programmes}
\md

Ce texte est organis\'e en deux titres: analyse et g\'eom\'etrie diff\'erentielle,
alg\`ebre et g\'eom\'etrie. Chacun de ces titres comporte des parties
(num\'erot\'ees I, II, $\ldots$), elles--m\^emes subdivis\'ees en chapitres
(num\'erot\'es 1, 2, $\ldots$), puis en paragraphes (rep\'er\'es a, b, $\ldots$).
Chacune des parties comporte:

- En t\^ete de partie ou de chapitre, un bandeau d\'efinissant les objectifs
essentiels et d\'elimitant le cadre g\'en\'eral d'\'etude des notions relatives \`a
cette partie ou \`a ce chapitre.

- Pour chaque paragraphe, un texte pr\'esent\'e en deux colonnes; \`a gauche sont
fix\'ees les connaissances et les m\'ethodes figurant au programme, \`a droite un
commentaire indique les exemples fondamentaux \`a conna\^{\i}tre et les m\'ethodes \`a
ma\^{\i}triser, pr\'ecise le sens ou les limites \`a donner \`a certaines questions,
et rep\`ere le cas \'ech\'eant l'interaction du sujet \'etudi\'e avec d'autres
parties du programme.

- En fin de partie, des travaux pratiques, \'egalement pr\'esent\'es en deux
colonnes; \`a gauche sont fix\'es d'une part le champ des questions
math\'ematiques \`a \'etudier et d'autre part les m\'ethodes et les techniques \`a
conna\^{\i}tre et \`a savoir mettre en \oe uvre, \`a droite un commentaire indique
des rep\`eres pour le niveau d'approfondissement \`a donner \`a cette \'etude ou \`a
cettte mise en \oe uvre. Les travaux pratiques qui doivent donner lieu \`a
l'emploi du logiciel de calcul symbolique et formel \'etudi\'e en informatique
sont rep\'er\'es par le signe \S.
\md

En outre, en seconde p\'eriode de la classe PTSI, un module optionnel d'une
heure suppl\'ementaire de cours est attribu\'e aux \'etudiants qui se destinent \`a
la classe PSI, et qui vient s'ajouter \`a l'horaire hebdomadaire commun de
$9$ heures ($6$ heures de cours et $3$ heures de Travaux Dirig\'es). La
r\'edaction ci-dessous a \'et\'e con\c{c}ue en fonction de l'horaire hebdomadaire de
$9$ heures. Les parties sp\'ecifiques au module optionnel sont encadr\'ees par
le signe \op. Pour ces parties, des commentaires pr\'ecisent, le cas \'ech\'eant,
l'importance qu'il convient de leur donner dans le cadre de l'horaire de
$9$ heures.
\md

c) {\sl Connaissances et capacit\'es exigibles des \'etudiants}
\md

Parmi les connaissances (d\'efinitions, notations, \'enonc\'es, d\'emonstrations,
exemples, contre exemples, m\'ethodes, algorithmes$\ldots$) et les capacit\'es
de mise en \oe uvre de ces connaissances, le texte du programme d\'elimite de
mani\`ere pr\'ecise trois cat\'egories.

- Celles qui sont exigibles des \'etudiants: il s'agit de l'ensemble des
points figurant dans la colonne de gauche des diff\'erents paragraphes et des
points qui sont rep\'er\'es comme tels dans la colonne de droite, dans les
bandeaux ou dans les travaux pratiques.

- Celles qui sont indiqu\'ees dans les bandeaux ou dans la colonne de droite
comme \'etant ``hors programme''. Elles ne doivent pas \^etre trait\'ees et ne
peuvent faire l'objet d'aucune \'epreuve d'\'evaluation.

- Celles qui rel\`event d'activit\'es possibles ou souhaitables, mais qui ne
sont pas exigibles des \'etudiants: il s'agit de tous les travaux pratiques
dont l'\'enonc\'e commence par la locution ``exemples de $\ldots$'' (dont la
fonction est d'indiquer le champ des probl\`emes et des ph\'enom\`enes
math\'ematiques \`a \'etudier) et des points rep\'er\'es dans les bandeaux ou dans la
colonne de droite par la locution ``aucune connaissance sp\'ecifique sur
$\ldots$ n'est exigible des \'etudiants'', accompagn\'ee le cas \'ech\'eant de la
locution ``les m\'ethodes \`a suivre, ou les indications utiles, doivent \^etre
fournies aux \'etudiants''.
\md

En outre, pour les d\'emonstrations des th\'eor\`emes dont l'\'enonc\'e figure au
programme et qui sont rep\'er\'es dans la colonne de droite par la locution
``la d\'emonstration n'est pas exigible des \'etudiants'', le professeur peut,
suivant les cas, d\'emontrer en d\'etail le r\'esultat consid\'er\'e, indiquer l'id\'ee
de sa d\'emonstration ou l'admettre. La locution ``la d\'emonstration est hors
programme''signifie qu'il est demand\'e d'admettre le r\'esultat.
\md

Enfin, aucun d\'eveloppement ne doit \^etre donn\'e aux notions figurant au
programme lorsqu'elles sont uniquement rep\'er\'ees par la locution
``d\'efinition de$\ldots$''; seule cette d\'efinition est alors exigible des
\'etudiants.
\vfill\eject

\TIT{II PROGRAMME DE LA CLASSE PTSI}

\TITRE{ANALYSE ET G\'EOM\'ETRIE DIFF\'ERENTIELLE}

{\sl Le programme d'analyse est organis\'e autour des concepts fondamentaux
de suite et de fonction. La ma\^{\i}trise du calcul diff\'erentiel et int\'egral \`a
une variable et de ses interventions en g\'eom\'etrie diff\'erentielle plane
constitue un objectif essentiel.
\so

Le cadre d'\'etude est bien d\'elimit\'e: suites de nombres r\'eels et de nombres
complexes, fonctions d\'efinies sur un intervalle de \R\ \`a valeurs r\'eelles ou
complexes, courbes planes, notions \'el\'ementaires sur les fonctions de deux
variables r\'eelles.

Le programme combine l'\'etude globale des suites et des fonctions
(op\'erations, majorations, monotonie, \op~convexit\'e \op, existence
d'extremums$\ldots$) et l'\'etude de leur comportement local ou asymptotique.
En particulier, il convient de mettre en valeur le caract\`ere local des
notions de limite, de continuit\'e, de d\'erivabilit\'e et de tangente.

Il combine aussi l'\'etude de probl\`emes qualitatifs (monotonie d'une suite ou
d'une fonction, existence de limites, continuit\'e, existence de z\'eros et
d'extremums de fonctions, existence de tangentes$\ldots$) avec celle des
probl\`emes quantitatifs (majorations, \'evaluations asymptotiques de suites et
de fonctions, approximations de z\'eros et d'extremums de fonctions,
propri\'et\'es m\'etriques des courbes planes$\ldots$).

En analyse, les majorations et les encadrements jouent un r\^ole essentiel.
Tout au long de l'ann\'ee, il convient donc de d\'egager les m\'ethodes usuelles
d'obtention de majorations et de minorations: op\'erations sur les
in\'egalit\'es, emploi de la valeur absolue ou du module, emploi du calcul
diff\'erentiel et int\'egral (recherche d'extremums, in\'egalit\'es des
accroissements finis et de la moyenne, majorations tayloriennes$\ldots$).
Pour comparer des nombres, des suites ou des fonctions, on utilise
syst\'ematiquement des in\'egalit\'es larges (qui sont compatibles avec le
passage \`a la limite), en r\'eservant les in\'egalit\'es strictes aux cas o\`u elles
sont indispensables.
\so

En ce qui concerne l'usage des quantificateurs, il convient d'entra\^{\i}ner les
\'etudiants \`a savoir les employer pour formuler de fa\c{c}on pr\'ecise certains
\'enonc\'es et leurs n\'egations (caract\`ere born\'e, caract\`ere croissant, existence
d'une limite, continuit\'e en un point, continuit\'e sur un intervalle,
d\'erivabilit\'e en un point$\ldots$). En revanche, il convient d'\'eviter tout
recours syst\'ematique aux quantificateurs. A fortiori, leur emploi abusif
(notamment sous forme d'abr\'eviations) est exclu.
\so

Le programme d'analyse et g\'eom\'etrie diff\'erentielle comporte la
construction, l'analyse et l'emploi d'algorithmes num\'eriques
(approximations de solutions d'\'equations num\'eriques, approximations d'une
int\'egrale$\ldots$); plus largement, le point de vue algorithmique est \`a
prendre en compte pour l'ensemble de ce programme, notamment pour le trac\'e
de courbes.}
\so

\Titre{I. NOMBRES R\'EELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS}

{\sl Cette partie figure au programme de la premi\`ere p\'eriode, sauf mention
expresse du contraire.
\so

Pour l'existence et la recherche de limites de suites ou de fonctions, il
convient d'utiliser les r\'esultats \'etablis dans le cours, de pr\'ef\'erence au
recours direct \`a la d\'efinition.}
\so

\titre{1- Nombres r\'eels}

{\sl Il est souvent commode d'identifier la droite euclidienne munie d'une
base orthonormale au \R-espace vectoriel \R, ce qui permet d'exploiter le
langage de la g\'eom\'etrie pour l'\'etude des nombres r\'eels.

La notion de corps totalement ordonn\'e est hors programme.}
\so

\tx{Corps \R\ des nombres r\'eels; relation d'ordre, compatibilit\'e avec
l'addition, la multiplication.
}
{La construction du corps des nombres r\'eels est hors programme.}
\so

\tx{Valeur absolue d'un nombre r\'eel, distance de deux points, valeur
absolue d'un produit, d'un quotient.

In\'egalit\'e triangulaire $$||x|-|y||\ie|x+y|\ie|x|+|y|.$$
Interpr\'etation en termes de distances.
}
{En particulier, si $|u|\ie k<1$, alors $$1-k\ie|1+u|\ie1+k.$$
Les \'etudiants doivent savoir utiliser ces in\'egalit\'es afin de majorer ou
minorer le module d'une somme.}
\so

\tx{D\'efinition des intervalles de \R.
}
{}
\so

\tx{D\'efinition d'un majorant, d'un minorant, du plus grand et du plus petit
\'el\'ement d'une partie.

D\'efinition d'une borne sup\'erieure, d'une borne inf\'erieure.
}
{Il convient de pr\'eciser, par des exemples simples, la notion de borne
sup\'erieure (qu'elle soit atteinte ou non).}
\so

\tx{Toute partie major\'ee non vide admet une borne sup\'erieure.
}
{La d\'emonstration de ce th\'eor\`eme est hors programme.}
\so

\tx{Partie enti\`ere d'un nombre r\'eel. Valeurs d\'ecimales approch\'ees \`a la
pr\'ecision $10^{-n}$; approximation par d\'efaut, par exc\`es.
}
{La notion de d\'eveloppement d\'ecimal illimit\'e est hors programme.}
\so

\tx{D\'efinition du groupe multiplicatif $\R^*_+$ des nombres r\'eels
strictement positifs. Bijection $x\mapsto{\rm e}^x$ (not\'e \'egalement
$x\mapsto\exp x$) de \R\ sur $\R^*_+$; bijection r\'eciproque $y\mapsto\ln
y$.
}
{La continuit\'e, la d\'erivabilit\'e et les variations des fonctions
exponentielle et logarithme n\'ep\'erien sont suppos\'ees connues, ainsi que
leurs \'equations fonctionnelles.}
\so

\titre{2- Suites de nombres r\'eels}

{\sl L'objectif principal est l'\'etude du comportement global et
asymptotique d'une suite donn\'ee, en relation avec la description de
ph\'enom\`enes discrets.
\so

En ce qui concerne le comportement global et asymptotique d'une suite, il
convient de combiner l'\'etude de probl\`emes qualitatifs (monotonie,
convergence, divergence$\ldots$) avec celle de probl\`emes quantitatifs
(majorations, encadrements$\ldots$).

Il convient de mettre en valeur, tant au niveau du cours que des probl\`emes,
le fait que pour \'etudier la convergence d'une suite $u_n$ vers un nombre
$a$, il est utile de se ramener \`a la convergence de $u_n-a$ vers $0$.
\so

Pour la notion de limite d'une suite $(u_n)$ de nombres r\'eels, on
adopte les d\'efinitions suivantes:

-~\'Etant donn\'e un nombre r\'eel $a$, on dit que $(u_n)$ admet $a$ pour
limite si, pour tout nombre r\'eel $\varepsilon>0$, il existe un entier $N$
tel que, pour tout entier $n$, la relation $n\se N$ implique la relation
$|u_n-a|\ie\varepsilon$; le nombre $a$ est alors unique, et on le note
$\lim_nu_n$. Lorsqu'un tel nombre $a$ existe, on dit que la suite $(u_n)$
est convergente, ou qu'elle admet une limite finie. Dans le cas contraire,
on dit que $(u_n)$ est divergente.

-~On d\'efinit de mani\`ere analogue la notion de limite lorsque $a$ est
remplac\'e par $+\infty$ ou $-\infty$; on dit alors que la suite $(u_n)$
diverge vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.

Tout vocabulaire topologique est hors programme.}
\so

\tit{a) Suites de nombres r\'eels}

\tx{Ensemble des suites de nombres r\'eels, relation d'ordre.

Suites major\'ees, minor\'ees, born\'ees.

Suites monotones, strictement monotones.
}
{Pour la pr\'esentation du cours, le programme se place dans le cadre des
suites index\'ees par \N. On effectue ensuite une br\`eve extension aux autres
cas usuels.}
\so

\tit{b) Limite d'une suite}

\tx{Limite d'une suite, convergence et divergence.

Lorsque $a\in\R$, la relation $u_n\rightarrow a$ \'equivaut \`a
$u_n-a\rightarrow0$.
}
{}
\so

\tx{Toute suite convergente est born\'ee.
}
{Toute suite de nombres r\'eels convergeant vers un nombre r\'eel strictement
positif est minor\'ee, \`a partir d'un certain rang, par un nombre r\'eel
strictement positif.}
\so

\tx{Ensemble des suites convergeant vers 0; produit d'une suite born\'ee et
d'une suite convergeant vers 0.
}
{}
\so

\tx{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites; compatibilit\'e du passage \`a la
limite avec la relation d'ordre.
}
{Si $|u_n|\leq\alpha_n\ {\rm et}\ \alpha_n\tend 0$, alors $u_n\tend 0$.
\so

Si $v_n\leq u_n\leq w_n$, et si $v_n\tend a$ et $w_n\tend a$, alors
$u_n\tend a$.

Si $v_n\ie u_n$ et si $v_n\rightarrow+\infty$, alors
$u_n\rightarrow+\infty$.}
\so

\tx{Toute suite croissante major\'ee $(u_n)$ converge, et
$$\displaystyle{\lim_nu_n=\sup_nu_n}.$$
}
{Extension au cas d'une suite croissante non major\'ee.}
\so

\tx{Suites adjacentes.
}
{Cas particulier de la dichotomie.}
\so

\tit{c) Relations de comparaison}

\tx{\'Etant donn\'ee une suite $(\alpha_n)$ de nombres r\'eels non nuls,
d\'efinition d'une suite $(u_n)$ de nombres r\'eels domin\'ee par $(\alpha_n)$,
n\'egligeable devant $(\alpha_n)$.
}
{Les notations de Landau ne sont pas exigibles des \'etudiants; leur
utilisation dans la pratique ne peut \^etre que tr\`es progressive.
\so

Caract\'erisations \`a l'aide du quotient
$\displaystyle{u_n\over\alpha_n}\cdot$}
\so

\tx{D\'efinition de l'\'equivalence de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de
nombres r\'eels non nuls. \'Equivalent d'un produit, d'un quotient.
\so

Si $u_n=\alpha_n+w_n$, o\`u $w_n$ est n\'egligeable devant $\alpha_n$, alors
$u_n\sim\alpha_n$.
}
{Notation $u_n\sim v_n$.
\so

Caract\'erisation \`a l'aide du quotient $\displaystyle{u_n\over v_n}\cdot$

Si $u_n\sim v_n$, alors, \`a partir d'un certain rang, le signe de $u_n$ est
\'egal \`a celui de $v_n$.}
\so

\tx{Comparaison des suites de r\'ef\'erence: $$n\mapsto a^n,\ n\mapsto
n^{\alpha}, \ n\mapsto (\ln n)^{\beta},\ n\mapsto n!$$ o\`u $a>0$,
$\alpha\in\R$, $\beta\in\R$.
}
{Les d\'eveloppements asymptotiques sont \`a \'etudier sur quelques exemples
simples. Toute \'etude syst\'ematique est exclue; en particulier, la notion
g\'en\'erale d'\'echelle de comparaison est hors programme.}
\so

\titre{3- Fonctions d'une variable r\'eelle \`a valeurs r\'eelles}

{\sl L'objectif est double:

-~\'Etude du comportement global et local d'une fonction donn\'ee, en
relation avec la description de l'\'evolution de ph\'enom\`enes continus.

-~Emploi de fonctions pour l'\'etude de probl\`emes num\'eriques (majorations
d'expressions, probl\`emes d'optimisation, solutions d'\'equations num\'eriques,
d'\'equations diff\'erentielles, mesures de grandeurs g\'eom\'etriques et
physiques$\ldots$).
\so

En ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une
fonction, il convient de combiner l'\'etude de probl\`emes qualitatifs
(monotonie, existence de z\'eros, existence d'extremums, existence de
limites, continuit\'e, d\'erivabilit\'e$\ldots$) avec celle de probl\`emes
quantitatifs (majorations, encadrements, comparaison aux fonctions de
r\'ef\'erence au voisinage d'un point$\ldots$).

Il convient de mettre en valeur, tant au niveau du cours que des probl\`emes,
le fait que pour \'etablir qu'un nombre $b$ est limite d'une fonction $f$, il
est utile de se ramener au cas $b=0$.
\so

Dans tout ce chapitre, on consid\`ere des fonctions d\'efinies sur un
intervalle $I$ de \R\ contenant au moins deux points et \`a valeurs r\'eelles.
\so

Pour la notion de limite d'une fonction $f$ en un point $a$ (appartenant \`a
$I$ ou extr\'emit\'e de $I$), on adopte les d\'efinitions suivantes:

-~\'Etant donn\'es des nombres r\'eels $a$ et $b$, on dit que $f$ admet $b$
pour limite au point $a$ si, pour tout nombre r\'eel $\varepsilon>0$, il
existe un nombre r\'eel $\delta>0$ tel que, pour tout \'el\'ement $x$ de $I$, la
relation $|x-a|\ie\delta$ implique la relation $|f(x)-b|\ie\varepsilon$; le
nombre $b$ est alors unique, et on le note $\lim_af$. Lorsqu'un tel nombre
$b$ existe, on dit que $f$ admet une limite finie au point $a$.

-~On d\'efinit de mani\`ere analogue la notion de limite lorsque $a$ ou $b$
sont remplac\'es par $+\infty$ ou $-\infty$.
\so

Dans un souci d'unification, on dit qu'une propri\'et\'e portant sur une
fonction d\'efinie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie
sur l'intersection de $I$ avec un intervalle ouvert de centre $a$ lorsque
$a\in\R$, avec un intervalle $]c,+\infty[$ lorsque $a=+\infty$ et avec un
intervalle $]-\infty,c\,[$ lorsque $a=-\infty$.

Tout autre vocabulaire topologique est hors programme.}
\so

\tit{a) Fonctions d'une variable r\'eelle \`a valeurs r\'eelles}

\tx{Ensemble des fonctions \`a valeurs r\'eelles, relation d'ordre.

Fonctions major\'ees, minor\'ees, born\'ees.

Somme, produit, compos\'ee de deux fonctions.
}
{D\'efinition de $|f|$, $\sup(f,g)$, $\inf(f,g)$, $f^{+}$ et $f^{-}$.
\so

Relations $f=f^{+}-f^{-}$ et $|f|=f^{+}+f^{-}$.}
\so

\tx{D\'efinition d'un extremum, d'un extremum local.
}
{Notations $\dis\max_{x\in I}f(x)$ et $\dis\max_If$.}
\so

\tx{D\'efinition de la borne sup\'erieure (inf\'erieure) d'une fonction.
}
{Notations $\dis\sup_{x\in I}f(x)$ et $\dis\sup_If$.}
\so

\tx{Fonctions monotones, strictement monotones, paires, impaires,
$T$-p\'eriodiques.
}
{}
\so

\tit{b) \'Etude locale d'une fonction}

\tx{Limite d'une fonction $f$ en un point $a$, continuit\'e en un point.

Lorsque $b\in\R$, la relation $f(x)\rightarrow b$ \'equivaut \`a la
relation $f(x)-b\rightarrow0$.

Lorsque $a\in\R$, la relation $f(x)\rightarrow b$ lorsque $x\rightarrow a$
\'equivaut \`a la relation $f(a+h)\rightarrow b$ lorsque $h\rightarrow0$.
}
{Lorsque $a\in I$, dire que $f$ a une limite finie en $a$ \'equivaut \`a la
continuit\'e de $f$ en ce point. Lorsque $a\not\in I$, $f$ a une limite finie
en $a$ si et seulement si $f$ se prolonge par continuit\'e en ce point.}
\so

\tx{Limite \`a gauche, limite \`a droite.

Continuit\'e \`a gauche, continuit\'e \`a droite.
}
{Les limites \`a gauche (ou \`a droite) en $a$ sont d\'efinies par restriction de
$f$ \`a $I\,\cap\,]-\infty,a\,[$ (\`a $I\,\cap\,]a,+\infty[$).}
\so

\tx{Toute fonction admettant une limite finie en un point est born\'ee au
voisinage de ce point.
}
{Toute fonction admettant une limite strictement positive en un point est
minor\'ee, au voisinage de ce point, par un nombre r\'eel strictement positif.}
\so

\tx{Op\'erations alg\'ebriques sur les limites; compatibilit\'e du passage \`a la
limite avec la relation d'ordre.
}
{Si $|f(x)|\leq g(x)\ {\rm et}\ g(x)\tend 0$, alors $f(x)\tend 0$.
\so

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$, et si $g(x)\tend b$ et $h(x)\tend b$,
alors $f(x)\tend b$.}
\so

\tx{Limite d'une fonction compos\'ee. Image d'une suite convergente.
}
{}
\so

\tx{Existence d'une limite d'une fonction monotone.
}
{Comparaison des bornes (sup\'erieure ou inf\'erieure) et des limites (\`a gauche
ou \`a droite).}
\so

\tit{c) Relations de comparaison}

\tx{\'Etant donn\'es un point $a$ (appartenant \`a $I$ ou extr\'emit\'e de $I$) et
une fonction $\varphi$ \`a valeurs r\'eelles et ne s'annulant pas sur $I$ priv\'e
de $a$, d\'efinition d'une fonction $f$ \`a valeurs r\'eelles, domin\'ee par
$\varphi$ (n\'egligeable devant $\varphi$) au voisinage de $a$.
}
{Les notations de Landau ne sont pas exigibles des \'etudiants; leur
utilisation dans la pratique ne peut \^etre que tr\`es progressive.
\so

Caract\'erisations \`a l'aide du quotient $\dis{f\over\varphi}\cdot$}
\so

\tx{D\'efinition de l'\'equivalence au voisinage de $a$ de deux fonctions $f$
et $g$ \`a valeurs r\'eelles ne s'annulant pas sur $I$ priv\'e de $a$.
\'Equivalent d'un produit, d'un quotient.
\so

Si $f=\varphi+h$, o\`u $h$ est n\'egligeable devant $\varphi$, alors
$f\sim\varphi$.
}
{Notation $f\sim g$.
\so

Caract\'erisation \`a l'aide du quotient $\dis{f\over g}\cdot$
\so

Si $f\sim g$ alors, au voisinage de $a$, le signe de $f(x)$ est \'egal \`a
celui de $g(x)$.}
\so

\tx{Comparaison, lorsque $x\tend+\infty$, des fonctions $$x\mapsto{\rm
e}^{\,\alpha x},\ x\mapsto x^{\beta},\ x\mapsto(\ln x)^{\gamma}.$$
Comparaison, lorsque $x\tend 0$, des fonctions $$x\mapsto x^{\alpha}\ {\rm
et}\ x\mapsto\big(\ln x\big)^{\beta}.$$
}
{}
\so

\tx{D\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ d'une fonction au voisinage d'un
point; op\'erations alg\'ebriques sur les d\'eveloppements limit\'es: somme,
produit; d\'eveloppement limit\'e de $\dis u\mapsto{1\over 1-u}$, application
au quotient.
}
{Les \'etudiants doivent savoir d\'eterminer sur des exemples simples le
d\'eveloppement limit\'e d'une fonction compos\'ee. Aucun r\'esultat g\'en\'eral sur ce
point n'est exigible.

Les d\'eveloppements asymptotiques sont \`a \'etudier sur quelques exemples
simples. Toute \'etude syst\'ematique est exclue; en particulier la notion
g\'en\'erale d'\'echelle de comparaison est hors programme.}
\so

\tit{d) Fonctions continues sur un intervalle}

\tx{Alg\`ebre ${\cal C}(I)$ des fonctions continues sur $I$ et \`a valeurs
r\'eelles.

Compos\'ee de deux fonctions continues.
}
{Si $f$ est continue, $|f|$, $f^+$, et $f^-$ le sont.}
\so

\tx{Restriction d'une fonction continue \`a un intervalle $J$ contenu dans
$I$.

Prolongement par continuit\'e en une extr\'emit\'e de $I$.
}
{Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors $f$ l'est aussi sur
$[a,c]$.}
\so

\tx{Image d'un intervalle par une fonction continue. Image d'un segment par
une fonction continue.

Continuit\'e de la fonction r\'eciproque d'une fonction continue
strictement monotone.
}
{La d\'emonstration de ces trois r\'esultats est hors programme, ainsi que la
notion de continuit\'e uniforme.

Comparaison des repr\'esentations graphiques d'une bijection et de la
bijection r\'eciproque.}
\so

\titre{4- Nombres complexes}

{\sl L'objectif est de consolider et d'approfondir les notions sur les
nombres complexes d\'ej\`a abord\'ees en classe de Terminale. Le programme
combine l'\'etude du corps des nombres complexes et de l'exponentielle
complexe avec les applications des nombres complexes aux \'equations
alg\'ebriques, \`a la trigonom\'etrie et \`a la g\'eom\'etrie.
\so

En ce qui concerne les suites et fonctions \`a valeurs complexes, l'objectif
est d'effectuer une tr\`es br\`eve extension des principales propri\'et\'es des
suites et fonctions d\'efinies sur un intervalle $I$ de \R\ et \`a valeurs
r\'eelles.
\so

Il est souvent commode d'identifier \C\ \`a l'espace euclidien $\R^2$,
notamment pour les probl\`emes d'origine g\'eom\'etrique, ce qui permet
d'exploiter le langage de la g\'eom\'etrie pour l'\'etude des nombres complexes.}
\so

\tit{a) Corps \C\ des nombres complexes}

\tx{Corps \C\ des nombres complexes, op\'erations sur les nombres complexes,
parties r\'eelle et imaginaire d'un nombre complexe, conjugaison dans \C.
}
{La construction du corps \C\ est hors programme.

Notations $\re z$, $\im z$, $\bar z$.}
\so

\tx{Affixe d'un point, d'un vecteur; image d'un nombre complexe.
}
{Interpr\'etation g\'eom\'etrique des transformations $z\mapsto\bar z$, $z\mapsto
z+b$.}
\so

\tx{Module d'un nombre complexe, module d'un produit, d'un quotient.
In\'egalit\'e triangulaire. Interpr\'etation en termes de distances.

D\'efinition du groupe multiplicatif \U\ des nombres complexes de module
1.
}
{Notation $|z|$; relation $|z|^2=z\bar z$.

Interpr\'etation g\'eom\'etrique de $|z|$, de $|z-a|$; disque ouvert (ferm\'e) de
centre $a$.

Si $|u|\ie k<1$, alors $$1-k\ie|1+u|\ie1+k.$$}
\so

\tit{b) Suites et fonctions \`a valeurs complexes}

\tx{Parties r\'eelle et imaginaire d'une suite; conjugaison.

Suites born\'ees.

Limite d'une suite de nombres complexes, convergence et divergence.
Caract\'erisation \`a l'aide des parties r\'eelle et imaginaire.

Toute suite convergente est born\'ee.

Op\'erations alg\'ebriques sur les limites.
}
{Par identification canonique de \C\ \`a $\R^2$, les notions de ce paragraphe
s'appliquent aux suites et aux fonctions d'une variable r\'eelle \`a valeurs
dans $\R^2$.}
\so

\tx{Parties r\'eelle et imaginaire d'une fonction; conjugaison.

Fonctions born\'ees.
}
{Notations $\re f$, $\im f$, $\bar f$, $|f|$.}
\so

\tx{Limite d'une fonction \`a valeurs complexes en un point $a$, continuit\'e
en un point; caract\'erisation \`a l'aide des parties r\'eelle et imaginaire.

Toute fonction admettant une limite en un point est born\'ee au voisinage de
ce point.

Op\'erations alg\'ebriques sur les limites.
\so

Alg\`ebre ${\cal C}(I)$ des fonctions continues sur $I$ \`a valeurs complexes.
}
{}
\so

\tit{c) Groupe \U\ des nombres complexes de module 1}

\tx{D\'efinition de $\hbox{\rm e}^{{\rm i}\theta}$, relation $\hbox{\rm
e}^{{\rm i}(\theta+\theta')}=\hbox{\rm e}^{{\rm i}\theta}\,\hbox{\rm
e}^{{\rm i}\theta'}$; formule de Moivre. Relations d'Euler.

L'application $\theta\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\theta}$ est une application
surjective du groupe additif \R\ sur le groupe multiplicatif \U. En outre,
la relation ${\rm e}^{{\rm i}\theta}=1$ \'equivaut \`a la relation
$\theta\in2\pi\Z$.
}
{Par d\'efinition, ${\rm e}^{{\rm i}\theta}=\cos\theta+{\rm i}\,\sin\theta$
o\`u $\theta\in\R$. La continuit\'e, la d\'erivabilit\'e et les variations des
fonctions cosinus, sinus et tangente sont suppos\'ees connues, ainsi que
leurs formules d'addition. Les \'etudiants doivent savoir exprimer
$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ et $\hbox{\rm e}^{{\rm i}\theta}$
\`a l'aide de $\dis\tan{\theta\over2}$ et relier ces formules \`a la
repr\'esentation param\'etrique rationnelle du cercle trigonom\'etrique priv\'e de
$-1$.}
\so

\tx{Arguments d'un nombre complexe. \'Ecriture d'un nombre complexe
$z\not=0$ sous la forme $\rho\,\hbox{\rm e}^{{\rm i}\theta}$ o\`u $\rho>0$ et
$\theta\in\R$ (forme trigonom\'etrique).
}
{}
\so

\tx{Groupe $\U_n$ des racines $n$-i\`emes de l'unit\'e. R\'esolution de
l'\'equation $z^n=a$.
}
{}
\so

\tit{d) Exponentielle complexe}

\tx{D\'efinition de l'exponentielle d'un nombre complexe:
$$\hbox{\rm exp z}={\rm e}^z={\rm e}^x\,{\rm e}^{{\rm i}y}\quad\hbox{\rm
o\`u}\quad z=x+{\rm i}y.$$

L'application $z\mapsto {\rm e}^z$ (\'egalement not\'ee $z\mapsto\exp z$) est
une application surjective de \C\ sur $\C^*$. En outre, la relation ${\rm
e}^z=1$ \'equivaut \`a la relation $z\in2{\rm i}\pi\Z$.
}
{Relation ${\rm e}^{z+z'}={\rm e}^z\,{\rm e}^{z'}$.}
\so

\tx{Module et arguments de ${\rm e}^z$; r\'esolution de l'\'equation ${\rm
e}^z=a$.
}
{La notion de logarithme complexe est hors programme.}
\so

\tit{e) Nombres complexes et g\'eom\'etrie plane} {\sl (Seconde p\'eriode)}

\tx{Interpr\'etation des transformations: $z\mapsto az,\ z\mapsto az+b.$

Interpr\'etation du module et de l'argument de $\dis{z-a\over z-b}\cdot$
}
{Les \'etudiants doivent savoir interpr\'eter \`a l'aide des nombres complexes
les notions suivantes de la g\'eom\'etrie euclidienne plane: distance, mesure
d'angle, barycentre, alignement, orthogonalit\'e.}
\so

\tp

\tx{Exemples d'obtention de majorations et de minorations d'expressions
r\'eelles et de leur emploi pour l'\'etude de suites et de fonctions.
}
{}
\so

\tx{\S\ Exemples d'\'etude du comportement global et asymptotique de suites
de nombres r\'eels, de nombres complexes.
}
{Il convient d'entra\^{\i}ner les \'etudiants \`a exploiter la comparaison aux
suites de r\'ef\'erence et \`a classer des ordres de grandeur, notamment pour
\'evaluer le poids respectif des termes d'une somme.}
\so

\tx{\S\ Exemples d'\'etude de suites de nombres r\'eels d\'efinies par une
relation de r\'ecurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
}
{Il convient de mettre en valeur le r\^ole des variations de $f$ et les
interpr\'etations graphiques. L'\'etude est \`a mener sur des exemples; aucun
\'enonc\'e g\'en\'eral n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{Exemples d'\'etude du comportement local et asymptotique de fonctions
d'une variable r\'eelle et d'emploi de d\'eveloppements limit\'es.
}
{L'\'etude de singularit\'es et la recherche de d\'eveloppements limit\'es ne sont
pas des objectifs en soi, et tout exc\`es de technicit\'e sur ces points est \`a
\'eviter.}
\so

\tx{Exemples d'\'etude du comportement global de fonctions d'une variable
r\'eelle \`a valeurs r\'eelles: \'etude des variations, des z\'eros et du signe.
\so

\S\ Exemples d'emploi des nombres complexes en alg\`ebre (polyn\^omes,
\'equations alg\'ebriques$\ldots$).
}
{}
\so

\tx{\S\ Exemples d'emploi des nombres complexes en trigonom\'etrie.
}
{Les \'etudiants doivent savoir lin\'eariser un polyn\^ome trigonom\'etrique,
exprimer une somme de deux cosinus ou de deux sinus sous forme de produit,
conna\^{\i}tre les expressions de $\sin\theta$, $\cos\theta$, $1+\cos\theta$ et
$1-\cos\theta$ \`a l'aide de $\theta/2$, ainsi que la relation $1+{\rm
e}^{{\rm i}\theta}=2\cos{\theta\over2}\,{\rm e}^{{\rm i}\theta/2}$ et son
interpr\'etation g\'eom\'etrique.}
\so

\tx{\S\ Exemples d'emploi des nombres complexes en g\'eom\'etrie plane.
}
{}
\so

\Titre{II. CALCUL DIFF\'ERENTIEL ET INT\'EGRAL}

{\sl Cette partie figure au programme de la premi\`ere p\'eriode, sauf mention
expresse du contraire.
\so

Le programme est organis\'e autour de trois axes:

-~D\'erivation en un point et sur un intervalle; notions sur la convexit\'e.

-~Int\'egration sur un segment des fonctions continues par morceaux, \`a partir
de l'int\'egration des fonctions en escalier.

-~Th\'eor\`eme fondamental reliant l'int\'egration et la d\'erivation; exploitation
de ce th\'eor\`eme pour le calcul diff\'erentiel et int\'egral, et notamment pour
les formules de Taylor.

Aussi bien pour l'\'etude locale que pour l'\'etude globale des fonctions, le
programme combine de mani\`ere indissociable les outils du calcul
diff\'erentiel et du calcul int\'egral.
\so

L'\'etude g\'en\'erale de la d\'erivation et de l'int\'egration doit \^etre illustr\'ee
par de nombreux exemples portant sur les fonctions usuelles (qui, par
commodit\'e de r\'edaction, ne figurent qu'au chapitre 6) et celles qui s'en
d\'eduisent.
\so

Les fonctions consid\'er\'ees dans cette partie sont d\'efinies sur un intervalle
$I$ de \R\ contenant au moins deux points et, dans les trois premiers
chapitres, sont \`a valeurs r\'eelles.}
\so

\titre{1- D\'erivation des fonctions \`a valeurs r\'eelles}

\tit{a) D\'eriv\'ee en un point, fonction d\'eriv\'ee}

\tx{D\'erivabilit\'e en un point: d\'eriv\'ee, d\'eriv\'ee \`a gauche, \`a droite.
\so

Extremums locaux des fonctions d\'erivables.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre et savoir exploiter l'interpr\'etation
graphique et l'interpr\'etation cin\'ematique de la notion de d\'eriv\'ee en un
point.

La d\'erivabilit\'e \`a gauche et \`a droite n'implique pas la d\'erivabilit\'e.}
\so

\tx{D\'erivabilit\'e sur un intervalle, fonction d\'eriv\'ee. Op\'erations sur les
d\'eriv\'ees: lin\'earit\'e, produit, quotient, fonctions compos\'ees, fonctions
r\'eciproques.
}
{Notations $f'$, D$f$, $\dis{\hbox{\rm d}f\over \hbox{\rm d}x}\cdot$

La d\'emonstration du th\'eor\`eme concernant la d\'erivabilit\'e d'une fonction
r\'eciproque est hors programme.}
\so

\tx{Alg\`ebre ${\cal C}^k(I)$ des fonctions de classe ${\cal C}^k$, o\`u
$0\ie k\ie+\infty$. D\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit (formule de Leibniz).
}
{Notations $f^{(k)}$, $D^{\,k}f$, $\dis{\hbox{\rm d}^kf\over\hbox{\rm
d}x^k}\cdot$}
\so

\tit{b) \'Etude globale des fonctions d\'erivables}

\tx{Th\'eor\`eme de Rolle, \'egalit\'e des accroissements finis.
\so

In\'egalit\'e des accroissements finis:

-~si $m\ie f'\ie M$, alors $m(b-a)\ie f(b)-f(a)\ie M(b-a);$

-~si $|f'|\ie k$, alors $|f(b)-f(a)|\ie k\,(b-a)$.
\so

Caract\'erisation des fonctions constantes, monotones et strictement
monotones parmi les fonctions d\'erivables.
}
{Pour le th\'eor\`eme de Rolle, l'\'egalit\'e et l'in\'egalit\'e des accroissements
finis, ainsi que pour la caract\'erisation des fonctions monotones, on
suppose $f$ continue sur $[a,b]$ et d\'erivable sur $]a,b[$.
\so

Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation graphique et cin\'ematique
de ces r\'esultats.}
\so

\tit{c) Fonctions convexes} {\sl (Seconde p\'eriode)}

\tx{\op\ D\'efinition, interpr\'etation graphique (tout sous-arc est sous sa
corde).

Croissance des pentes des s\'ecantes dont on fixe une extr\'emit\'e.
}
{In\'egalit\'e de convexit\'e: si $\lambda_j\geq0$ et
$\dis\sum_{j=1}^n\lambda_j=1$, alors
$$\dis{f\big(\sum_{j=1}^n\lambda_j a_j\big)\leq
\sum_{j=1}^n\lambda_jf(a_j)}.$$}
\so

\tx{Si $f$ est de classe ${\cal C}^2$, $f$ est convexe si et seulement si
$f''$ est positive. La courbe est alors situ\'ee au dessus de chacune de ses
tangentes \op.
}
{L'\'etude de la continuit\'e et de la d\'erivabilit\'e des fonctions convexes est
hors programme.}
\so

\titre{2- Int\'egration sur un segment des fonctions \`a valeurs r\'eelles}

{\sl Le programme se limite \`a l'int\'egration des fonctions continues par
morceaux sur un segment. Les notions de fonction r\'egl\'ee et de fonction
int\'egrable au sens de Riemann sont hors programme.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient
de d\'efinir la convergence absolue de l'int\'egrale d'une fonction continue
sur un intervalle quelconque, mais, en math\'ematiques, aucune connaissance
sp\'ecifique sur ce point n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tit{a) Fonctions continues par morceaux}

\tx{D\'efinition d'une fonction $\varphi$ en escalier sur $[a,b]$, d'une
subdivision de $[a,b]$ subordonn\'ee \`a $\varphi$. Op\'erations sur les
fonctions en escalier.
}
{}
\so

\tx{D\'efinition des fonctions continues par morceaux sur un segment.
}
{}
\so

\tx{\op\ Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment
par des fonctions en escalier: \'etant donn\'ee une fonction $f$ continue par
morceaux sur $[a,b]$, pour tout r\'eel $\eps>0$, il existe des fonctions
$\varphi$ et $\psi$ en escalier sur $[a,b]$ telles que: $$\varphi\leq
f\leq\psi\quad{\rm et}\quad\psi-\varphi\leq\eps\,\,\,\hbox{\rm \op}.$$
}
{La d\'emonstration de ce r\'esultat est hors programme.}
\so

\tit{b) Int\'egrale d'une fonction continue par morceaux}

\tx{Int\'egrale d'une fonction en escalier sur un segment. Lin\'earit\'e.
Croissance.

Int\'egrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
Notations $\int_{I}f$, $\int_{[a,b]}f$. Lin\'earit\'e.

Croissance; in\'egalit\'e $|\int_If|\leq\int_I|f|$.

Additivit\'e par rapport \`a l'intervalle d'int\'egration.

Invariance de l'int\'egrale par translation.
}
{Il convient d'interpr\'eter graphiquement l'int\'egrale d'une fonction \`a
valeurs positives en termes d'aire. Aucune difficult\'e th\'eorique ne doit
\^etre soulev\'ee sur la notion d'aire.

Les d\'emonstrations de ces r\'esultats ne sont pas exigibles des \'etudiants.
\op\ Dans le cadre de l'horaire de $9$ heures, elles sont hors programme;
il convient de s'appuyer alors sur l'interpr\'etation en termes d'aire
pour introduire l'int\'egrale \op.}
\so

\tx{Valeur moyenne d'une fonction.
}
{}
\so

\tx{In\'egalit\'e de la moyenne $$\left|\int_{[a,b]}fg\right|\leq
\sup\limits_{[a,b]}|f|\int_{[a,b]}|g|.$$
}
{En particulier $$\left|\int_{[a,b]}f\right|\leq(b-a)\,
\sup\limits_{[a,b]}|f|.$$

Toute autre formule ou \'egalit\'e dite de la moyenne est hors programme.}
\so

\tx{Une fonction $f$ continue et \`a valeurs positives sur un segment est
nulle si et seulement si son int\'egrale est nulle.

Produit scalaire $(f,g)\mapsto\int_Ifg$ sur l'espace vectoriel ${\cal
C}(I)$; in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz.
}
{}
\so

\tx{D\'efinition de $\int_a^bf(t)\,\hbox{\rm d}t$, o\`u $a$ et $b$
appartiennent \`a $I$. Lin\'earit\'e. In\'egalit\'e de la moyenne. Relation de
Chasles.
}
{}
\so

\titre{3- Int\'egration et d\'erivation}

\tit{a) Primitives et int\'egrale d'une fonction continue}

\tx{D\'efinition d'une primitive d'une fonction continue.

Deux primitives d'une m\^eme fonction diff\'erent d'une constante.
}
{Il convient de montrer sur des exemples que cette d\'efinition ne peut \^etre
\'etendue sans changement au cas des fonctions continues par morceaux.}
\so

\tx{Th\'eor\`eme fondamental: \'etant donn\'es une fonction $f$ continue sur un
intervalle $I$ et un point $a\in I$,
\so

-~la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\hbox{\rm d}t$ est
l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$;
}
{}
\so

\tx{-~pour toute primitive $h$ de $f$ sur $I$, $$\int_a^x f(t)\,\hbox{\rm
d}t=h(x)-h(a).$$
}
{Pour toute fonction $f$ de classe ${\cal C}^1$ sur $I$,
$$f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)\,\hbox{\rm d}t.$$}
\so

\tx{Int\'egration par parties pour des fonctions de classe ${\cal C}^1$.
}
{}
\so

\tx{Changement de variable: \'etant donn\'ees une fonction $f$ continue sur $I$
et une fonction $\varphi$ \`a valeurs dans $I$ et de classe ${\cal C}^1$ sur
$[\alpha,\beta]$,
$$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(t)\,\hbox{\rm d}t
=\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(u)\big)\,\varphi'(u)\,\hbox{\rm d}u.$$
}
{Il convient de mettre en valeur l'int\'er\^et de changements de variable
affines, notamment pour exploiter la p\'eriodicit\'e et les sym\'etries, ou pour
se ramener, par param\'etrage du segment $[a,b]$, au cas o\`u l'intervalle
d'int\'egration est $[0,1]$ ou $[-1,1]$.}
\so

\tit{b) Formules de Taylor}

\tx{Pour une fonction de classe ${\cal C}^{p+1}$ sur $I$, formule de Taylor
\`a l'ordre $p$ en un point $a$ de $I$.
\so

\op\ Expression int\'egrale du reste \op.
\so

Majoration du reste: in\'egalit\'e de Taylor-Lagrange.
}
{Relation $f(x)=T_p(x)+R_p(x)$, o\`u $$T_p(x)=\dis{\sum_{n=0}^p{(x-a)^n\over
n!}D^{\,n}f(a)}.$$}
\so

\tx{D\'eveloppement limit\'e d'une primitive, d'une d\'eriv\'ee.

Existence d'un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $p$ pour une fonction de
classe ${\cal C}^p$: formule de Taylor-Young.
}
{}
\so

\titre{4- D\'erivation et int\'egration des fonctions \`a valeurs complexes}

{\sl L'objectif est d'effectuer une tr\`es br\`eve extension des notions et
propri\'et\'es suivantes, vues pour les fonctions \`a valeurs r\'eelles, aux
fonctions d\'efinies sur un intervalle $I$ et \`a valeurs complexes.
\so

Par identification de \C\ \`a $\R^2$, les notions de ce chapitre
s'appliquent aux fonctions d'une variable r\'eelle et \`a valeurs dans $\R^2$.}
\so

\tit{a) D\'erivation}

\tx{D\'erivabilit\'e en un point, caract\'erisation \`a l'aide des parties r\'eelle
et imaginaire; op\'erations sur les fonctions d\'erivables. Alg\`ebre ${\cal
C}^k(I)$ des fonctions de classe ${\cal C}^k$ \`a valeurs complexes, o\`u $0\ie
k\ie+\infty$; d\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit.
}
{Caract\'erisation des fonctions constantes.

Il convient de montrer, \`a l'aide d'un contre-exemple, que le th\'eor\`eme de
Rolle ne s'\'etend pas.}
\so

\tit{b) Int\'egration}

\tx{Int\'egrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment,
lin\'earit\'e.
}
{}
\so

\tx{In\'egalit\'e $\left|\int_{[a,b]}f\right|\leq\int_{[a,b]}|f|$.
\so
}
{La d\'emonstration de cette in\'egalit\'e est hors programme.}
\so

\tit{c) Int\'egration et d\'erivation}

\tx{Extension du th\'eor\`eme fondamental.
}
{}
\so

\tx{In\'egalit\'e des accroissements finis pour une fonction de classe ${\cal
C}^1$.
}
{Interpr\'etation cin\'ematique.}
\so

\titre{5- Courbes planes param\'etr\'ees}

{\sl Dans ce chapitre, on consid\`ere des fonctions \`a valeurs dans $\R^2$, de
classe ${\cal C}^k$ sur $I$, o\`u $1\ie k\ie+\infty$.
\so

L'objectif est d'exploiter, par identification de \C\ au plan euclidien
$\R^2$, les r\'esultats obtenus sur les fonctions \`a valeurs complexes pour
l'\'etude cin\'ematique et g\'eom\'etrique des courbes planes.
\so

La d\'emarche du programme est de partir du point de vue cin\'ematique (donn\'ee
d'un param\'etrage) et d'introduire ensuite la notion de propri\'et\'e
g\'eom\'etrique en \'etudiant l'effet d'un changement de param\'etrage.
\so

L'\'etude des courbes param\'etr\'ees fait l'objet d'un approfondissement au
chapitre IV.1.}
\so

\tit{a) Courbes param\'etr\'ees}

\tx{Courbes param\'etr\'ees (ou arcs param\'etr\'es) de classe ${\cal C}^k$;
interpr\'etation cin\'ematique: mouvement, vitesse, acc\'el\'eration.
\so

\'Etant donn\'ees deux fonctions $f$ et $g$ de classe ${\cal C}^1$ \`a valeurs
dans $\R^2$, d\'erivation de $(f|g)$, de $\|f\|$ et de $\det(f,g)$.
}
{En vue de l'enseignement de la m\'ecanique, il convient de donner la
caract\'erisation d'un mouvement uniforme, d'un mouvement rectiligne, d'un
mouvement \`a acc\'el\'eration centrale. En math\'ematiques, aucune connaissance
sp\'ecifique sur ces points n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{Trajectoire d'un mouvement, orientation; point r\'egulier, bir\'egulier.
}
{}
\so

\tit{b) \'Etude locale d'une courbe param\'etr\'ee}

\tx{D\'efinition des demi-tangentes en un point $A$ (le vecteur unitaire
associ\'e \`a $\vect{AM}$ admet une limite), de la tangente en un point $A$.
Existence d'une tangente en un point r\'egulier; vecteur unitaire $\vect{T}$
de la tangente \`a un arc orient\'e.

Cas d'un point o\`u l'un au moins des vecteurs d\'eriv\'es successifs est non
nul.
}
{L'\'etude locale en un point o\`u tous les vecteurs d\'eriv\'es successifs sont
nuls est hors programme.}
\so

\tx{Position locale de la courbe par rapport \`a l'une de ses tangentes en un
point bir\'egulier (concavit\'e).
}
{Les d\'emonstrations sont hors programme.

En ce qui concerne les points d'inflexion et de rebroussements, il convient
de se limiter \`a quelques exemples simples.}
\so

\tx{Branches infinies: directions asymptotiques, asymptotes.
}
{Cette \'etude porte seulement sur des exemples; aucun \'enonc\'e g\'en\'eral n'est
exigible des \'etudiants.}
\so

\titre{6- Fonctions usuelles}

\tit{a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances}

\tx{Fonctions exponentielles r\'eelles, fonctions logarithmes. Fonctions
puissances.

Fonctions hyperboliques ch, sh et th.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les d\'eriv\'ees, les variations et les
repr\'esentations graphiques de ces fonctions.
\so

En ce qui concerne la trigonom\'etrie hyperbolique, la seule connaissance
exigible des \'etudiants est la relation $\hbox{\rm ch}^2t-\hbox{\rm
sh}^2t=1$ et son interpr\'etation g\'eom\'etrique. Les fonctions hyperboliques
r\'eciproques sont hors programme.}
\so

\tit{b) Fonctions circulaires}

\tx{Fonctions circulaires cos, sin et tan.

D\'efinition et d\'erivation des fonctions circulaires r\'eciproques Arccos,
Arcsin et Arctan.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les d\'eriv\'ees, les variations et les
repr\'esentations graphiques des fonctions circulaires et des fonctions
circulaires r\'eciproques. Aucune autre connaissance sp\'ecifique sur les
fonctions circulaires r\'eciproques n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tit{c) Fonction exponentielle complexe}

\tx{D\'erivation de $t\mapsto {\rm e}^{at}$ o\`u $a\in\C$.
}
{}
\so

\tit{d) Primitives des fonctions usuelles}

\tx{Primitives de $\dis t\mapsto (t-a)^n,\ a\in\C,\ n\in\Z$.
}
{Lorsque $n=-1$, on se ram\`ene \`a l'int\'egration de la partie r\'eelle et de la
partie imaginaire; la notion de fonction logarithme complexe est hors
programme.}
\so

\tx{Primitives de $t\mapsto{\rm e}^{\alpha t}P(t)$ o\`u $\alpha\in\C$ et
$P\in\C[X]$.

Tableau des primitives des fonctions usuelles.
}
{}
\so

\tit{e) D\'eveloppements limit\'es des fonctions usuelles}

\tx{D\'eveloppement limit\'e \`a l'origine des fonctions $t\mapsto{\rm e}^{at}$,
$a\in\C$, $t\mapsto (1+t)^a$, $a\in\R$.
}
{Les \'etudiants doivent savoir en d\'eduire les autres d\'eveloppements limit\'es
usuels.}
\so

\titre{7- \'Equations diff\'erentielles}

{\sl Ce chapitre figure au programme de la seconde p\'eriode.
\so

L'objectif, tr\`es modeste, est d'\'etudier les \'equations diff\'erentielles
lin\'eaires du premier ordre et les \'equations lin\'eaires du second ordre \`a
coefficients constants.

Il convient de relier cette \'etude \`a l'enseignement des autres disciplines
scientifiques (syst\`emes m\'ecaniques ou \'electriques gouvern\'es par une loi
d'\'evolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient
d'\'etudier le comportement du signal de sortie associ\'e \`a diff\'erents types de
signaux d'entr\'ee (\'echelon unit\'e, cr\'eneau, exponentielle r\'eelle ou
circulaire) et de d\'egager la signification de certains param\`etres ou
comportements: stabilit\'e, r\'egime permanent, oscilllation, amortissement,
fr\'equences propres, r\'esonance. Dans le cadre de tels probl\`emes, on peut
\^etre amen\'e \`a \'etendre la notion de solution (fonction ${\cal C}^1$ ou ${\cal
C}^2$ par morceaux) mais, en math\'ematiques, aucune connaissance sur ce
point n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tit{a) Solutions d'une \'equation diff\'erentielle}

\tx{D\'efinition d'une solution sur un intervalle d'une \'equation
diff\'erentielle $y'=f(x,y)$, d'une solution satisfaisant \`a une condition
initiale donn\'ee. Interpr\'etation graphique.
}
{Le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz est hors programme.}
\so

\tit{b) \'Equations lin\'eaires du premier ordre}

\tx{Caract\'erisation de la fonction $t\mapsto {\rm e}^{at}$ ($a\in\C$) par
l'\'equation diff\'erentielle $y'=a\,y$ et la condition initiale $y(0)=1$.
}
{}
\so

\tx{\'Equation $a(x)y'+b(x)y=c(x)$, o\`u $a,\,b,\,c$ sont des fonctions
continues \`a valeurs r\'eelles ou complexes. \'Equation sans second membre
associ\'ee. Description de l'ensemble des solutions.
}
{Existence et unicit\'e de la solution satisfaisant \`a une condition initiale
donn\'ee sur un intervalle o\`u $a$ ne s'annule pas. Structure de l'espace
vectoriel des solutions de l'\'equation sans second membre associ\'ee.
Expression des solutions sous forme int\'egrale.}
\so

\tit{c) \'Equations lin\'eaires du second ordre \`a coefficients constants}

\tx{\'Equation $ay''+by'+cy=f(x)$, o\`u $a,\,b,\,c$ sont des nombres
complexes, $a\not=0$, et $f$ une somme de fonctions de type $x\mapsto
{\rm e}^{\alpha x} P(x)$, o\`u $\alpha\in\C$ et $P\in\C[X]$.
}
{Existence et unicit\'e de la solution satisfaisant \`a une condition initiale
donn\'ee. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'\'equation sans
second membre associ\'ee.}
\so

\tp

\tx{Exemples d'emploi du calcul diff\'erentiel et int\'egral pour l'\'etude
globale des fonctions: variations, recherche des z\'eros et du signe d'une
fonction, obtention de majorations et minorations de suites
et de fonctions, recherche d'extremums.
}
{}
\so

\tx{\S\ Exemples d'algorithmes d'approximation d'une solution d'une
\'equation num\'erique.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les m\'ethodes de dichotomie et
d'it\'eration.}
\so

\tx{\S\ Exemples de calcul de primitives et d'int\'egrales.
}
{Les \'etudiants doivent savoir calculer une primitive d'une fonction
rationnelle n'ayant que des p\^oles simples ou doubles. En dehors de ce cas,
des indications sur la m\'ethode \`a suivre doivent \^etre fournies.
}
\so

\tx{\S\ Algorithme de calcul approch\'e d'int\'egrales par la m\'ethode des
trap\`ezes.
}
{La m\'ethode des trap\`ezes est la seule qui figure au programme.

Il convient de souligner l'int\'er\^et des subdivisions dichotomiques.}
\so

\tx{\S\ Exemples d'\'etude locale et de construction de courbes param\'etr\'ees,
et d'emploi de param\'etrages d'ensembles du plan d\'efinis par des conditions
g\'eom\'etriques ou m\'ecaniques.
}
{}
\so

\tx{Exemples d'\'etude d'\'equations diff\'erentielles: \'equations lin\'eaires du
premier ordre, \'equations lin\'eaires du second ordre \`a coefficients
constants, \'equations \`a variables s\'eparables.
}
{Il convient d'exploiter notamment des probl\`emes issus de la g\'eom\'etrie et
des autres disciplines scientifiques.}
\so

\Titre{III. NOTIONS SUR LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES R\'EELLES}

{\sl Cette partie figure au programme de la seconde p\'eriode.
\so

Elle constitue une premi\`ere prise de contact, largement intuitive, avec les
fonctions de plusieurs variables; toute technicit\'e est \`a \'eviter aussi bien
pour la pr\'esentation du cours qu'au niveau des exercices et probl\`emes. De
plus, la plupart des contenus de cette partie font seulement l'objet de
travaux pratiques.
\so

L'objectif, tr\`es modeste, est double:

-~\'Etudier quelques notions de base sur les fonctions de deux variables
r\'eelles (continuit\'e et d\'erivation).

-~Exploiter les r\'esultats obtenus pour l'\'etude de probl\`emes, issus
notamment des autres disciplines scientifiques.
\so

En vue de l'enseignement de ces disciplines, il convient d'\'etendre tr\`es
bri\`evement ces notions aux fonctions de trois variables r\'eelles. Mais, en
math\'ematiques, les seules connaissances exigibles des \'etudiants ne portent
que sur les fonctions de deux variables.

Les suites d'\'el\'ements de $\R^2$ et les fonctions d'une variable r\'eelle \`a
valeurs dans $\R^2$ ont d\'ej\`a \'et\'e \'etudi\'ees en se ramenant aux suites et
fonctions \`a valeurs r\'eelles par passage aux coordonn\'ees (cf. chapitres I.4
et II.4).}
\so

\titre{1- Espace $\R^2$, fonctions continues}

{\sl Les fonctions consid\'er\'ees dans ce chapitre sont d\'efinies sur une
partie $A$ de $\R^2$. Pour la pratique, on se limite aux cas o\`u $A$ est
d\'efinie par des conditions simples.
\so

Pour d\'efinir la notion de limite, on proc\`ede comme pour les fonctions d'une
variable r\'eelle.}
\so

\tit{a) Espace $\R^2$}

\tx{Norme $\dis\|x\|_\infty=\sup\,(|x_1|,|x_2|)$. \'Equivalence de cette
norme avec la norme euclidienne $\|x\|_2$. D\'efinition des parties born\'ees
de $\R^2$.
}
{L'\'etude g\'en\'erale des normes sur $\R^2$ est hors programme.}
\so

\tx{D\'efinition des parties ouvertes de $\R^2$.
}
{Les op\'erations sur les ouverts, ainsi que les notions de partie ferm\'ee, de
voisinage, d'int\'erieur et d'adh\'erence d'une partie sont hors programme.}
\so

\tit{b) Fonctions continues de deux variables}

\tx{Fonctions d\'efinies sur $A$ et \`a valeurs r\'eelles.
}
{}
\so

\tx{Limite et continuit\'e en un point $a$ d'une fonction d\'efinie sur un
ouvert $U$ et \`a valeurs r\'eelles.
}
{}
\so

\tx{Fonctions continues sur $U$ et \`a valeurs r\'eelles; op\'erations
alg\'ebriques sur les fonctions continues.
\so

Extension des notions de limite et de continuit\'e \`a une application de $U$
dans $\R^2$; caract\'erisation \`a l'aide des coordonn\'ees.

Continuit\'e d'une application compos\'ee.
}
{}
\so

\titre{2- Fonctions de deux variables r\'eelles \`a valeurs r\'eelles: calcul
diff\'erentiel}

{\sl Les fonctions \'etudi\'ees dans ce chapitre sont d\'efinies sur un ouvert
$U$ de $\R^2$ et \`a valeurs r\'eelles.
\so

L'objectif essentiel est d'introduire quelques notions de base: d\'eriv\'ee
selon un vecteur, d\'eriv\'ees partielles, d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 1,
gradient et de les appliquer aux extremums locaux et aux coordonn\'ees
polaires; en revanche, les notions de fonction diff\'erentiable et de
diff\'erentielle en un point sont hors programme.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient
d'\'etendre bri\`evement ces notions au cas o\`u $f$ est d\'efinie sur un ouvert de
$\R^3$ et de d\'efinir les coordonn\'ees cylindriques mais, en math\'ematiques,
aucune connaissance sur ces points n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tit{a) D\'eriv\'ees partielles premi\`eres}

\tx{D\'efinition de la d\'eriv\'ee de $f$ en un point $a$ de $U$ selon un vecteur
$h$, not\'ee D${}_hf(a)$. D\'efinition des d\'eriv\'ees partielles, not\'ees
D${}_jf(a)$ ou $\dis{\partial f\over\partial x_j}(a)$.
}
{Il existe un nombre r\'eel $\delta>0$ tel que, pour tout \'el\'ement
$t\in[-\delta,\delta]$, $a+th$ appartienne \`a $U$; on pose alors
$\varphi_h(t)=f(a+th)$. Si $\varphi_h$ est d\'erivable \`a l'origine, on
dit que $f$ admet une d\'eriv\'ee au point $a$ de $U$ selon le vecteur $h$, et
l'on pose D${}_hf(a)=\varphi_h'(0)$.}
\so

\tx{D\'efinition des fonctions de classe ${\cal C}^1$ sur $U$ (pour tout
vecteur $h$, $x\mapsto$D${}_h(f)(x)$ est continue sur $U$).
}
{}
\so

\tx{Th\'eor\`eme fondamental: si les d\'eriv\'ees partielles sont continues sur
$U$, alors $f$ admet, en tout point $a$ de $U$, un d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre un, ainsi qu'une d\'eriv\'ee selon tout vecteur $h$, et $$\hbox{\rm
D}{}_hf(a)=h_1\hbox{\rm D}{}_1f(a)+h_2\hbox{\rm D}{}_2f(a).$$ En
particulier, $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $U$. Le gradient de $f$ est
d\'efini, dans le plan euclidien $\R^2$, par la relation $$\hbox{\rm
D}{}_hf(a)=(\hbox{\rm grad}f(a)|h).$$
}
{La d\'emonstration de ce r\'esultat est hors programme.
\so

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient
de donner la notation diff\'erentielle d$f$, mais, en math\'ematiques, aucune
connaissance sur ce point n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{Alg\`ebre ${\cal C}^1(U)$ des fonctions de classe ${\cal C}^1$ sur $U$.
}
{}
\so

\tx{D\'eriv\'ee d'une fonction compos\'ee de la forme $f\circ\varphi$, o\`u
$\varphi$ est une application de classe ${\cal C}^1$ sur un intervalle $I$
et \`a valeurs dans $U$.
}
{Application au calcul des d\'eriv\'ees partielles d'une fonction compos\'ee de
la forme $f\circ\varphi$, o\`u $\varphi$ est une application de classe ${\cal
C}^1$ sur un ouvert $V$ de $\R^2$ et \`a valeurs dans $U$.}
\so

\tx{En un point de $U$ o\`u une fonction de classe ${\cal C}^1$ sur $U$
pr\'esente un extremum local, ses d\'eriv\'ees partielles sont nulles.
}
{}
\so

\tit{b) D\'eriv\'ees partielles d'ordre $k\geq2$}

\tx{Th\'eor\`eme de Schwarz pour une fonction de classe ${\cal C}^2$ sur $U$.
}
{La d\'emonstration du th\'eor\`eme de Schwarz, ainsi que tout \'enonc\'e concernant
les formules de Taylor ou les conditions suffisantes d'existence
d'extremums, sont hors programme.}
\so

\tit{c) Coordonn\'ees polaires}

\tx{Rep\`ere polaire $(\vec{u},\vec{v})$ du plan euclidien $\R^2$ d\'efini,
pour tout nombre r\'eel $\theta$, par:
$$\vec{u}\,(\theta)=\,\,\cos\theta\,\,\vec{e_1}+\sin\theta\,\,\vec{e_2},$$
$$\vec{v}\,(\theta)=-\sin\theta\,\,\vec{e_1}+\cos\theta\,\,\vec{e_2}$$ o\`u
$(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est la base canonique de $\R^2$.
\so

Coordonn\'ees polaires d'un point de $\R^2$.
}
{Relations $$\dis{{\hbox{\rm d}\,\vec{u}\over\hbox{\rm
d}\,\theta}=\vec{v}},\quad
\dis{{\hbox{\rm d}\,\vec{v}\over\hbox{\rm d}\,\theta}=-\vec{u}.}$$

Expression des coordonn\'ees du gradient d'une fonction \`a valeurs r\'eelles $f$
de classe ${\cal C}^1$ en fonction des d\'eriv\'ees partielles de la fonction
$$(\rho,\theta)\mapsto F(\rho,\theta)
=f(\rho\,\cos\theta,\rho\,\sin\theta).$$}
\so

\titre{3- Fonctions de deux variables r\'eelles \`a valeurs r\'eelles: calcul
int\'egral}

{\sl En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il
convient de donner quelques notions intuitives sur les int\'egrales doubles
et triples:

-~Int\'egrales doubles sur une partie born\'ee d\'efinie par des conditions
simples.

-~Lin\'earit\'e, croissance, additivit\'e par rapport au domaine d'int\'egration.

-~Exemples de calcul d'int\'egrales doubles par int\'egrations successives.

-~Exemples simples de changements de variables: changement de variables
affine, passage en coordonn\'ees polaires.

-~Br\`eve extension aux int\'egrales triples.

-~Exemples simples d'applications aux calculs d'aires planes, de volumes,
de masses, de centres et de moments d'inertie.
\so

En math\'ematiques, aucune connaissance sur ces diff\'erents points n'est
exigible des \'etudiants.}
\so

\tp

\tx{Exemples de calcul et d'emploi de d\'eriv\'ees partielles.
\so

Exemples de recherche d'extremums.
}
{}
\so

\Titre{IV. G\'EOM\'ETRIE DIFF\'ERENTIELLE}
\so

{\sl Cette partie figure au programme de la seconde p\'eriode.
\so

Les fonctions consid\'er\'ees dans cette partie sont de classe ${\cal C}^k$ sur
un intervalle $I$ de \R\ (o\`u $1\ie k\ie+\infty$) et sont \`a valeurs dans le
plan euclidien $\R^2$. En outre, pour la pr\'esentation des notions du cours,
on suppose que les arcs param\'etr\'es $\Gamma$ ainsi d\'efinis sont r\'eguliers \`a
l'ordre 1, c'est-\`a-dire que tous leurs points sont r\'eguliers.}
\so

\titre{1- Courbes du plan}

{\sl L'objectif est double:

-~\'Etudier diff\'erents modes de d\'efinition des courbes planes
(repr\'esentations cart\'esienne, param\'etrique et polaire).

-~\'Etudier quelques propri\'et\'es m\'etriques fondamentales des courbes planes
(abscisse curviligne, rep\`ere de Frenet, courbure).
\so

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques (lignes
\'equipotentielles et lignes de champ), il convient de donner quelques
notions sur les courbes d\'efinies par une \'equation implicite
$F(x,y)=\lambda$ (tangente et normale en un point r\'egulier). En
math\'ematiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des
\'etudiants.}
\so

\tit{a) Modes de d\'efinition d'une courbe plane}

\tx{Courbe $\Gamma$ d\'efinie par une repr\'esentation cart\'esienne $$x\mapsto
y=\varphi(x)\quad\hbox{\rm ou}\quad y\mapsto x=\psi(y)$$ o\`u $\varphi$ et
$\psi$ sont de classe ${\cal C}^k$.
}
{}
\so

\tx{Courbe d\'efinie par une repr\'esentation param\'etrique
$$t\mapsto\vect{OM}(t)=f(t).$$
}
{}
\so

\tx{Calcul des coordonn\'ees de la vitesse et de l'acc\'el\'eration dans le
rep\`ere polaire.
}
{}
\so

\tx{Courbe d\'efinie par une \'equation polaire $\theta\mapsto\rho(\theta)$ o\`u
$\rho$ est de classe ${\cal C}^k$ et \`a valeurs r\'eelles. Expression dans le
rep\`ere polaire de vecteurs directeurs de la tangente et de la normale.
\so

\'Equation polaire d'un cercle passant par $O$, d'une conique de foyer
$O$.
}
{Les seules connaissances sp\'ecifiques exigibles des \'etudiants concernant
l'\'etude de courbes d\'efinies par une \'equation polaire sont celles indiqu\'ees
ci-contre.}
\so

\tit{b) Propri\'et\'es m\'etriques des courbes planes param\'etr\'ees}

\tx{Pour un arc orient\'e $\Gamma$ r\'egulier \`a l'ordre 1, rep\`ere de Frenet
$(\vect{T},\vect{N})$, abscisse curviligne. Longueur d'un arc.
}
{Par d\'efinition, une abscisse curviligne est une fonction $s$ de classe
${\cal C}^1$ sur $I$ telle que $$s'(t)=\|f'(t)\|_2.$$ La longueur d'un
arc est d\'efinie \`a l'aide de l'abscisse curviligne; toute d\'efinition
g\'eom\'etrique d'une telle longueur est hors programme.}
\so

\tx{Si $f$ est de classe ${\cal C}^k$ sur $I$, o\`u $2\ie k<+\infty$,
existence d'une fonction $\alpha$ de classe ${\cal C}^{k-1}$ sur $I$ telle
que, pour tout $t\in I$,
$\vect{T}(t)=\cos\alpha(t)\,\vect{e_1}+\sin\alpha(t)\,\vect{e_2}$.
}
{La d\'emonstration de ce r\'esultat est hors programme.

Relations $$\dis{{\hbox{\rm d}f\over\hbox{\rm d}s}=\vect{T},\quad
{\hbox{\rm d}x\over\hbox{\rm d}s}=\cos\alpha,\quad{\hbox{\rm
d}y\over\hbox{\rm d}s}=\sin\alpha.}$$}
\so

\tx{D\'efinition de la courbure $\dis{\gamma={\hbox{\rm
d}\alpha\over\hbox{\rm d}s}}\cdotp$
\so

Relations $$\dis{{\hbox{\rm d}\vect{T}\over\hbox{\rm
d}s}=\gamma\vect{N},\quad{\hbox{\rm d}\vect{N}\over\hbox{\rm
d}s}=-\gamma\vect{T}.}$$
}
{Aucune connaissance sp\'ecifique sur le centre de courbure, le cercle
osculateur, les d\'evelopp\'ees et les d\'eveloppantes n'est exigible des
\'etudiants.}
\so

\tx{Rayon de courbure.
}
{}
\so

\tx{Calcul des coordonn\'ees de la vitesse et de l'acc\'el\'eration dans le
rep\`ere de Frenet.
}
{}
\so

\titre{2- Champs de vecteurs du plan et de l'espace}

{\sl En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il
convient de donner quelques br\`eves notions sur les champs de vecteurs du
plan et de l'espace:

-~D\'eriv\'ees partielles, divergence, rotationnel.

-~Circulation, int\'egrale curviligne.

-~Potentiel scalaire, caract\'erisation des champs admettant un potentiel
scalaire.

-~Formule de Green-Riemann dans le plan.
\so

En math\'ematiques, aucune connaissance sur ces diff\'erents points n'est
exigible des \'etudiants.}
\so

\tp

\tx{\S\ Exemples d'emploi de repr\'esentations cart\'esiennes et param\'etriques
(en particulier polaires) pour l'\'etude locale et globale des courbes
planes. Exemples de trac\'es de courbes planes.
\so

Exemples d'\'etude de propri\'et\'es m\'etriques de courbes planes (longueur d'un
arc, rep\`ere de Frenet, courbure$\ldots$).
}
{}
\vfill\eject

\TITRE{ALG\`EBRE ET G\'EOM\'ETRIE}

{\sl Le programme d'alg\`ebre et g\'eom\'etrie est organis\'e autour des concepts
fondamentaux d'espace vectoriel et d'application lin\'eaire, et de leurs
interventions en alg\`ebre, en analyse et en g\'eom\'etrie. La ma\^{\i}trise de
l'alg\`ebre lin\'eaire \'el\'ementaire en dimension finie constitue un objectif
essentiel.
\so

Le cadre d'\'etude est bien d\'elimit\'e: br\`eve mise en place des concepts
d'espace vectoriel, d'application lin\'eaire, d'alg\`ebre et de produit
scalaire, sous leur forme g\'en\'erale, en vue notamment des interventions en
analyse; en dimension finie, \'etude des concepts de base, de dimension et de
rang, mise en place du calcul matriciel; interventions de l'alg\`ebre
lin\'eaire en g\'eom\'etrie affine et en g\'eom\'etrie euclidienne.
\so

La ma\^{\i}trise de l'articulation entre le point de vue g\'eom\'etrique (vecteurs
et points) et le point de vue matriciel constitue un objectif majeur. Le
programme combine, de fa\c{c}on indissociable, la mise en place des concepts de
l'alg\`ebre lin\'eaire avec l'\'etude des probl\`emes lin\'eaires (ind\'ependance
lin\'eaire, \'equations lin\'eaires, approximation des fonctions, propri\'et\'es
affines et m\'etriques des configurations, \'etude des isom\'etries$\ldots$).
\so

Pour les groupes, les anneaux et les corps, le programme se limite \`a
quelques d\'efinitions de base et aux exemples usuels; toute \'etude g\'en\'erale
de ces structures est hors programme.
\so

Le programme d'alg\`ebre et g\'eom\'etrie comporte la construction, l'analyse et
l'emploi d'algorithmes num\'eriques (division euclidienne dans \Z, op\'erations
\'el\'ementaires sur les matrices en alg\`ebre lin\'eaire$\ldots$) et de calcul
formel (polyn\^omes et fractions rationnelles$\ldots$); plus largement, le
point de vue algorithmique est \`a prendre en compte pour l'ensemble de ce
programme.}
\so

\Titre{I. NOMBRES ET STRUCTURES ALG\'EBRIQUES USUELLES}

\titre{1- Ensembles, applications}

{\sl Ce chapitre figure au programme de la premi\`ere p\'eriode.
\so

L'objectif est d'acqu\'erir le vocabulaire usuel sur les ensembles, les
applications et les relations. Toute \'etude syst\'ematique, a fortiori toute
axiomatique, de la th\'eorie des ensembles est exclue.

Le programe se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous.
Ces notions doivent \^etre acquises progressivement par les \'etudiants au
cours de l'ann\'ee, au fur et \`a mesure des exemples rencontr\'es dans les
diff\'erents chapitres d'alg\`ebre, d'analyse et de g\'eom\'etrie. Elles ne doivent
pas faire l'objet d'une \'etude exhaustive bloqu\'ee en d\'ebut d'ann\'ee.}
\so

\tit{a) Ensembles, op\'erations sur les parties}

\tx{Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble ${\cal P}(E)$ des parties
de $E$. Op\'erations sur les parties: intersection, r\'eunion, compl\'ementaire.
Produit de deux ensembles.
}
{Les \'el\'ements $x$ d'un ensemble $E$ satisfaisant \`a une relation ${\cal
R}(x)$ constituent une partie de $E$, ce qui permet d'interpr\'eter en termes
ensemblistes l'implication, la conjonction et la disjonction de deux
relations, ainsi que la n\'egation d'une relation.}
\so

\tit{b) Applications, lois de composition}

\tx{Une application $f$ de $E$ dans (vers) $F$ est d\'efinie par son ensemble
de d\'epart $E$, son ensemble d'arriv\'ee $F$ et son graphe $G$.

Ensemble ${\cal F}(E,F)$ des applications de $E$ dans $F$.

Compos\'ee de deux applications, application identique. Restriction et
prolongements d'une application.

\'Equations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application
r\'eciproque d'une bijection.
}
{Notations $E$ $\hfl{f}{}$ $F$, $f:E\rightarrow F$, $x\mapsto f(x)$, la
premi\`ere \'etant tr\`es commode, notamment pour la composition des
applications.

Le programme ne distingue pas les notions de fonction et d'application.
La notion de correspondance entre deux ensembles est hors programme.}
\so

\tx{D\'efinition des images directe et r\'eciproque d'une partie.
}
{Aucune connaissance sp\'ecifique sur les images directes et les images
r\'eciproques n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{D\'efinition d'une loi de composition interne. Associativit\'e,
commutativit\'e, \'el\'ement neutre. D\'efinition des \'el\'ements inversibles pour une
loi associative admettant un \'el\'ement neutre.
}
{Notations additive et multiplicative d'une loi de composition.}
\so

\titre{2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, d\'enombrements}

{\sl Ce chapitre figure au programme de la premi\`ere p\'eriode.
\so

En ce qui concerne les nombres entiers naturels et les ensembles
finis, l'objectif principal est d'entra\^{\i}ner les \'etudiants \`a pratique le
raisonnement par r\'ecurrence. Les propri\'et\'es de l'addition, de la
multiplication et de la relation d'ordre dans \N\ sont suppos\'ees connues;
toute construction et toute axiomatique de \N\ sont hors programme.
\so

L'\'equipotence des ensembles infinis et la notion d'ensemble d\'enombrable
sont hors programme.
\so

En ce qui concerne la combinatoire, l'objectif est de consolider les acquis
de la classe de Terminale S; le programme se limite strictement aux
exemples fondamentaux indiqu\'es ci-dessous.
\so

La d\'emonstration des r\'esultats de ce chapitre n'est pas exigible des
\'etudiants.}
\so

\tit{a) Nombres entiers naturels}

\tx{Propri\'et\'es fondamentales de l'ensemble \N\ des nombres entiers
naturels. Toute partie non vide a un plus petit \'el\'ement; principe de
r\'ecurrence. Toute partie major\'ee non vide a un plus grand \'el\'ement.
}
{Les \'etudiants doivent savoir pratiquer le raisonnement par r\'ecurrence
simple ou avec pr\'ed\'ecesseurs.}
\so

\tx{Suites d'\'el\'ements d'un ensemble $E$ (index\'ees par une partie de \N).
Suite d\'efinie par une relation de r\'ecurrence et une condition initiale.
}
{On admet qu'\'etant donn\'es une application $f$ de $E$ dans $E$ et un \'el\'ement
$a$ de $E$, il existe une suite $(u_n)$ et une seule d'\'el\'ements de $E$
satisfaisant \`a la relation de r\'ecurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ et \`a la condition
initiale $u_0=a$.}
\so

\tx{Exemples d'utilisation des notations $a_1+a_2+\ldots+a_p+\ldots+a_n$,
$a_1a_2\ldots a_p\ldots a_n$, $\dis\sum_{1\leq p\leq n}a_p$,
$\dis\prod_{1\leq p\leq n}a_p$.

Suites arithm\'etiques, suites g\'eom\'etriques. Notations $na$ et $a^n$.
}
{Symbole $n!$ (on convient que $0!=1$).}
\so

\tit{b) Ensembles finis}

\tx{D\'efinition: il existe une bijection de $\[1,n\]$ sur $E$; cardinal (ou
nombres d'\'el\'ements) d'un ensemble fini, notation $\card\,E$. On convient
que l'ensemble vide est fini et que $\card\vide=0$.
}
{S'il existe une bijection de $\[1,p\]$ sur $\[1,n\]$, alors $p=n$.}
\so

\tx{Toute partie $E'$ d'un ensemble fini $E$ est finie et
$$\card\,E'\leq\card\,E,$$ avec \'egalit\'e si et seulement si $E'=E$.

\'Etant donn\'es deux ensembles finis $E$ et $F$ de m\^eme cardinal, et une
application $f$ de $E$ dans $F$, $f$ est bijective si et seulement si $f$
est surjective ou injective.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre des exemples de parties strictes de \N\ en
bijection avec \N.

Une partie non vide $P$ de \N\ est finie si et seulement si elle est
major\'ee. Si $P$ est finie non vide, il existe une bijection strictement
croissante et une seule de l'intervalle $\[1,n\]$ sur $P$, o\`u
$n=\card\,P$.}
\so

\tit{c) Op\'erations sur les ensembles finis, d\'enombrements}

\tx{Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E\cup F$ l'est aussi; cardinal
d'une r\'eunion finie de parties finies disjointes.

Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E\times F$ l'est aussi et
$$\card\,(E\times F)=\card\,E\cdot\card\,F.$$
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre la relation $\card(A\cup
B)=\card\,A+\card\,B-\card(A\cap B).$}
\so

\tx{L'ensemble des applications de $\[1,p\]$ dans $\[1,n\]$ est fini de
cardinal $n^p$.

Cardinal $A_n^p$ de l'ensemble des injections de $\[1,p\]$ dans
$\[1,n\]$; arrangements. Cas des bijections; permutations.
}
{L'objectif est de v\'erifier les acquis des \'el\`eves dans les classes
ant\'erieures. Tout d\'eveloppement sur ces notions est exclu.}
\so

\tx{Cardinal $\cnp{n}{p}$, ou $\dis{\mathop{\hbox{\large
C}}\nolimits}_{n}^{p}$, de l'ensemble des parties de $\[1,n\]$ ayant $p$
\'el\'ements; combinaisons. Relations $$\cnp{n}{p}={n!\over
p!\,(n-p)!}={n\over p}\,\cnp{n-1}{p-1}={n-p+1\over p}\,\cnp{n}{p-1}.$$
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les relations
$$\dis\cnp{n}{p}=\cnp{n}{n-p},\qquad\sum_{p=0}^n\cnp{n}{p}=2^n,$$
$$\cnp{n}{p}=\cnp{n-1}{p}+\cnp{n-1}{p-1}\,\hbox{\rm (triangle de
Pascal)}$$
\so

ainsi que leur interpr\'etation ensembliste.}
\so

\titre{3- Structures alg\'ebriques usuelles}

{\sl Ce chapitre figure au programme de la premi\`ere p\'eriode, sauf mention
expresse du contraire.
\so

L'objectif est d'acqu\'erir le vocabulaire \'el\'ementaire sur les structures
alg\'ebriques usuelles suivantes: groupes, anneaux et corps, espaces
vectoriels, alg\`ebres. Toute \'etude des structures alg\'ebriques g\'en\'erales est
hors programme.

Le programme se limite strictement aux notions de base indiqu\'ees
ci-dessous. Ces notions doivent \^etre acquises progressivement par les
\'etudiants au cours de l'ann\'ee, au fur et \`a mesure des exemples
rencontr\'es dans les diff\'erents chapitres d'alg\`ebre, d'analyse et de
g\'eom\'etrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une \'etude exhaustive
bloqu\'ee en d\'ebut d'ann\'ee.

Vu l'importance capitale de l'alg\`ebre lin\'eaire, le programme comporte
l'\'etude des concepts d'espace vectoriel, d'application lin\'eaire et
d'alg\`ebre; cette \'etude fait l'objet d'un approfondissement dans le cadre
des espaces vectoriels de dimension finie (cf. parties II et III).

En revanche, pour les groupes, les anneaux et les corps, le programme se
limite \`a quelques d\'efinitions \'el\'ementaires et aux exemples usuels.
\so

En alg\`ebre lin\'eaire, le programme se limite au cas o\`u le corps de base est
\K, o\`u \K\ d\'esigne \R\ ou \C.}
\so

\tit{a) Groupes}

\tx{D\'efinition d'un groupe, d'un sous-groupe, d'un morphisme de groupes,
d'un isomorphisme.
\so

\op\ Noyau et image d'un morphisme de groupes \op.
\so

Groupe additif \Z\ des nombres entiers.
}
{Ces notions doivent \^etre illustr\'ees par des exemples issus:

-~en premi\`ere p\'eriode, des ensembles de nombres, notamment \Z, \R\ et \C;

-~en seconde p\'eriode, de l'alg\`ebre lin\'eaire et de la g\'eom\'etrie.}
\so

\tit{b) Anneaux et corps}

\tx{D\'efinition d'un anneau (ayant un \'el\'ement unit\'e). Distributivit\'e du
produit par rapport au symbole sommatoire $\sum$.

D\'efinition d'un corps (commutatif).
}
{Ces notions doivent \^etre illustr\'ees par des exemples issus:

-~des ensembles de nombres \Z, \Q, \R, \C;

-~des polyn\^omes et fractions rationnelles.}
\so

\tx{\op\ D\'efinition d'un sous-anneau, d'un sous-corps \op.
}
{}
\so

\tx{Anneau \Z\ des nombres entiers, corps \Q\ des nombres rationnels.
}
{La construction de \Z\ et de \Q\ est hors programme.}
\so

\tx{Calculs dans un anneau commutatif et dans un corps. Formule du bin\^ome.
Relation $$x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}y^k.$$

Somme des $n$ premiers termes d'une suite g\'eom\'etrique.
}
{}
\so

\tit{c) Espaces vectoriels}

\tx{D\'efinition d'un espace vectoriel sur \K, d\'efinition d'un
sous-espace vectoriel, d'une application lin\'eaire, d'une forme lin\'eaire.
Compos\'ee de deux applications lin\'eaires. D\'efinition d'un isomorphisme, d'un
endomorphisme, d'un automorphisme.

L'application r\'eciproque d'une application lin\'eaire bijective est lin\'eaire.

Espace vectoriel produit $E\times F$. Espace vectoriel ${\cal F}(X,F)$ des
applications d'un ensemble $X$ dans un espace vectoriel $F$. Espace
vectoriel ${\cal L}(E,F)$ des applications lin\'eaires de $E$ dans $F$;
lin\'earit\'e des applications $v\mapsto v\circ u$ et $u\mapsto v\circ u$.
}
{Ces notions doivent \^etre illustr\'ees par de nombreux exemples, et
notamment:

-~l'espace vectoriel $\K^n$;

-~l'espace vectoriel ${\cal F}(X,\K)$ des applications d'un ensemble $X$
dans \K;

-~les espaces vectoriels de suites et de fonctions;

-~l'espace vectoriel $\mnpk$ des matrices \`a coefficients dans \K\ \`a $n$
lignes et $p$ colonnes (en seconde p\'eriode).}
\so

\tx{\'Equations lin\'eaires; noyau et image d'une application lin\'eaire.
Description de l'ensemble des solutions de $u(x)=b$.
}
{}
\so

\tx{D\'efinition des combinaisons lin\'eaires de $p$ vecteurs $x_1,x_2,
\ldots,x_p$ d'un espace vectoriel; image par une application lin\'eaire d'une
combinaison lin\'eaire. D\'efinition des relations lin\'eaires entre $p$ vecteurs
$x_1,x_2,\ldots,x_p$ d'un espace vectoriel.
}
{On traite d'abord le cas d'une famille $(x_1,\ldots,x_p)$, puis on \'etend
bri\`evement ces notions au cas des familles finies $(x_i)_{i\in I}$. Le cas
des familles index\'ees par un ensemble infini est hors programme.}
\so

\tx{Description du sous-espace vectoriel engendr\'e par une famille finie de
vecteurs.
}
{}
\so

\tx{Somme $F+G$ de deux sous-espaces vectoriels.
}
{}
\so

\tx{\op\ Sous-espaces suppl\'ementaires, notation $E=F\oplus G$. Projecteurs
associ\'es \op.
}
{La notion g\'en\'erale de somme directe est hors programme.}
\so

\tit{d) Alg\`ebres}

\tx{D\'efinition d'une \K-alg\`ebre associative unitaire; une telle alg\`ebre est
munie d'une structure d'anneau.
\so

\op\ D\'efinition d'une sous-alg\`ebre, d'un morphisme d'alg\`ebres, d'un
isomorphisme \op.
\so

Alg\`ebre ${\cal F}(X,\K)$ des applications d'un ensemble $X$ dans le corps
\K.

Alg\`ebre ${\cal L}(E)$ des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$;
homoth\'eties, caract\'erisation des projecteurs par la relation $p^2=p$.
}
{Ces notions doivent \^etre illustr\'ees par des exemples, et notamment:

-~la \R-alg\`ebre \C\ des nombres complexes;

-~l'alg\`ebre $\K[X]$ des polyn\^omes \`a coefficients dans \K;

-~les alg\`ebres de suites et de fonctions;

-~l'alg\`ebre $\mnk$ des matrices \`a coefficients dans \K\ \`a $n$ lignes et $n$
colonnes (en seconde p\'eriode).
\so

L'\'etude g\'en\'erale des alg\`ebres est hors programme.}
\so

\titre{4- Polyn\^omes et fractions rationnelles}

{\sl Ce chapitre figure au programme de la premi\`ere p\'eriode.
\so

L'objectif est d'\'etudier, par des m\'ethodes \'el\'ementaires, les propri\'et\'es de
base des polyn\^omes et des fractions rationnelles, et de les exploiter pour
la r\'esolution de probl\`emes portant sur les \'equations alg\'ebriques et les
fonctions num\'eriques.
\so

Le programme se limite au cas o\`u le corps de base est \K, o\`u \K\ d\'esigne
\R\ ou \C.
\so

On pourra confondre les notions de polyn\^ome et de fonction polynomiale.}
\so

\tit{a) Alg\`ebre $\K[X]$ et corps $\K(X)$}

\tx{Alg\`ebre $\K[X]$ des polyn\^omes \`a une ind\'etermin\'ee \`a coefficients dans
\K.

Degr\'e d'un polyn\^ome non nul, coefficient dominant, polyn\^ome unitaire (ou
normalis\'e). Degr\'e d'un produit, d'une somme; les polyn\^omes de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a $p$ constituent un sous-espace vectoriel de $\K[X]$.

Corps $\K(X)$ des fractions rationnelles.
}
{Notation $a_0+a_1\,X+\ldots+a_p\,X^p$.

La notation $\dis\sum_{n=0}^{+\infty}a_n X^n$ n'est pas exigible des
\'etudiants.
\so

Aucune connaissance sur la construction de $\K[X]$ et de $\K(X)$ n'est
exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{Multiples et diviseurs d'un polyn\^ome, polyn\^omes associ\'es. Division
euclidienne dans $\K[X]$, algorithme de la division euclidienne.
}
{Ces notions sont \`a mettre en parall\`ele avec les notions correspondantes
des entiers, qui sont d\'efinies et \'etudi\'ees \`a cette occasion.}
\so

\tit{b) Fonctions polynomiales et rationnelles}

\tx{Fonction polynomiale associ\'ee \`a un polyn\^ome. \'Equations alg\'ebriques.
Z\'eros (ou racines) d'un polyn\^ome; ordre de multiplicit\'e.
}
{Reste de la division euclidienne d'un polyn\^ome $P$ par $X-a$;
caract\'erisation des z\'eros de $P$.
\so

Algorithme de Horner pour le calcul des valeurs d'une fonction
polynomiale.}
\so

\tx{Fonction rationnelle associ\'ee \`a une fraction rationnelle. Z\'eros et
p\^oles d'une fraction rationnelle; ordre de multiplicit\'e.
}
{}
\so

\tx{Th\'eor\`eme de d'Alembert-Gauss. Description des polyn\^omes irr\'eductibles
de $\C[X]$ et de $\R[X]$.
}
{La d\'emonstration du th\'eor\`eme de d'Alembert-Gauss est hors programme.}
\so

\tx{D\'ecomposition d'un polyn\^ome en produit de facteurs irr\'eductibles sur
\C\ et sur \R.

D\'ecomposition dans $\C[X]$ de $X^n-1$.
}
{Ces notions sont \`a mettre en parall\`ele avec la d\'ecomposition d'un nombre
entier en produit de facteurs premiers, qui est d\'efinie et \'etudi\'ee \`a cette
occasion.}
\so

\tx{Relations entre les coefficients et les racines d'un polyn\^ome \`a
coefficients complexes.
}
{Aucune connaissance sp\'ecifique sur le calcul des fonctions sym\'etriques des
racines d'un polyn\^ome n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{D\'efinition du polyn\^ome d\'eriv\'e. Lin\'earit\'e de la d\'erivation, d\'eriv\'ee d'un
produit. D\'eriv\'ees successives, d\'eriv\'ee $n$-i\`eme d'un produit (formule de
Leibniz). Formule de Taylor, application \`a la recherche de l'ordre de
multiplicit\'e d'un z\'ero.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre les relations
$$P(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}\,{(X-a)^n\over n!}\,{P^{(n)}}(a),$$
$$P(a+X)=\sum_{n=0}^{+\infty}\,{X^n\over n!}\,{P^{(n)}}(a).$$}
\so

\tit{c) \'Etude locale d'une fraction rationnelle}

\tx{Existence et unicit\'e de la partie enti\`ere d'une fraction rationnelle
$R$; existence et unicit\'e de la partie polaire de $R$ relative \`a un p\^ole
$a$. Lorsque $a$ est un p\^ole simple de $R$, expressions de la partie
polaire relative \`a ce p\^ole.
}
{La d\'emonstration de l'existence et de l'unicit\'e de la partie polaire est
hors programme.

Les \'etudiants doivent savoir calculer la partie polaire en un p\^ole double.
En revanche, des indications sur la m\'ethode \`a suivre doivent \^etre fournies
pour des p\^oles d'ordre sup\'erieur ou \'egal \`a 3. La division des polyn\^omes
suivant les puissances croissantes est hors programme.}
\so

\tx{Lorsque $\K=\C$, toute fraction rationnelle $R$ est \'egale \`a la somme
de sa partie enti\`ere et de ses parties polaires. Existence et unicit\'e de la
d\'ecomposition de $R$ en \'el\'ements simples.
}
{Aucune connaissance sp\'ecifique sur la d\'ecomposition en \'el\'ements simples
sur \R\ n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tp

\tx{Exemples simples d'\'etude de probl\`emes de sommation.
}
{}
\so

\tx{Exemples de recherche de polyn\^omes satisfaisant \`a des conditions
donn\'ees (interpolation, \'equations diff\'erentielles$\ldots$).
}
{Aucune connaissance sp\'ecifique sur les m\'ethodes d'interpolation n'est
exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{\S\ Exemples d'obtention de la d\'ecomposition d'un polyn\^ome en produit
de facteurs irr\'eductibles.
}
{}
\so

\tx{\S\ Exemples d'\'etude d'\'equations alg\'ebriques \`a coefficients r\'eels ou
complexes.
}
{En dehors du cas de $z^n=a$, aucune connaissance sp\'ecifique sur les
\'equations d'ordre sup\'erieur ou \'egal \`a 3 n'est exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{\S\ Pratique de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples dans $\C(X)$ d'une
fraction rationnelle n'ayant que des p\^oles simples ou doubles.
}
{En dehors de ce cas, des indications sur la m\'ethode \`a suivre doivent \^etre
fournies. L'obtention de d\'ecompositions en \'el\'ements simples n'est pas un
objectif en soi; tout exc\`es de technicit\'e sur ce point est \`a \'eviter.}
\so

\Titre{II. ALG\`EBRE LIN\'EAIRE ET G\'EOM\'ETRIE AFFINE}

{\sl Cette partie figure au programme de la seconde p\'eriode.
\so

L'objectif est double:

-~Acqu\'erir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension
finie (ind\'ependance lin\'eaire, bases, dimension, sous-espaces vectoriels
suppl\'ementaires et projecteurs, rang), le calcul matriciel et la g\'eom\'etrie
affine du plan et de l'espace (sous-espaces affines, barycentres,
applications et transformations affines).

-~Ma\^{\i}triser les relations entre le point de vue g\'eom\'etrique (vecteurs et
applications lin\'eaires, points et applications affines) et le point de vue
matriciel.

Il convient d'\'etudier conjointement l'alg\`ebre lin\'eaire et la g\'eom\'etrie
affine du plan et de l'espace et, dans les deux cas, d'illustrer les
notions et les r\'esultats par de nombreuses figures.
\so

Dans toute cette partie, les espaces vectoriels consid\'er\'es sont de
dimension finie et le corps de base est \K, o\`u \K\ d\'esigne \R\ ou \C.}
\so

\titre{1- Espaces vectoriels de dimension finie}

{\sl L'\'etude des espaces vectoriels et des applications lin\'eaires est \`a
mener de front avec celle du calcul matriciel.

La th\'eorie de la dualit\'e, et notamment la notion d'orthogonalit\'e, est hors
programme.}
\so

\tit{a) Familles libres, familles g\'en\'eratrices, bases}

\tx{D\'efinition d'une famille libre, d'une famille li\'ee, d'une famille
g\'en\'eratrice, d'une base; coordonn\'ees (ou composantes) d'un vecteur dans une
base. Base canonique de $\K^n$.

\'Etant donn\'es un espace vectoriel $E$ muni d'une base $(e_1,\ldots,e_p)$
et une famille $(f_1,\ldots,f_p)$ de vecteurs d'un espace vectoriel $F$, il
existe une application lin\'eaire $u$ et une seule de $E$ dans $F$ telle que
$u(e_j)=f_j$.
}
{La donn\'ee d'une famille de $p$ vecteurs $(x_1,x_2, \ldots,x_p)$ d'un
\K-espace vectoriel $E$ d\'etermine une application lin\'eaire de $\K^p$ dans
$E$; noyau et image de cette application; caract\'erisation des bases de $E$,
des familles g\'en\'eratrices, des familles libres.}
\so

\tit{b) Dimension d'un espace vectoriel}

\tx{D\'efinition d'un espace vectoriel de dimension finie (espace vectoriel
admettant une famille g\'en\'eratrice finie). Th\'eor\`eme de la base incompl\`ete,
existence de bases.
}
{}
\so

\tx{Toutes les bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie sont
finies et ont le m\^eme nombre d'\'el\'ements, appel\'e dimension de $E$. On
convient que l'espace vectoriel r\'eduit \`a $\{0\}$ est de dimension nulle.

Tout espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe \`a $\K^n$; deux espaces
vectoriels de dimension finie $E$ et $F$ sont isomorphes si et seulement si
$\dim E=\dim F$.
}
{\'Etant donn\'ee une famille $S$ de vecteurs d'un espace vectoriel de
dimension $n$:

-~si $S$ est libre, alors $p\ie n$, avec \'egalit\'e si et seulement si $S$ est
une base;

-~si $S$ est g\'en\'eratrice, alors $p\se n$, avec \'egalit\'e si et seulement si
$S$ est une base.}
\so

\tx{\'Etant donn\'es un espace vectoriel $E$ muni d'une base $B=(e_j)$ et un
espace vectoriel $F$ muni d'une base $C=(f_i)$, une application lin\'eaire
$u$ de $E$ dans $F$ et un vecteur $x$ de $E$, expression des coordonn\'ees de
$y=u(x)$ dans $C$ en fonction des coordonn\'ees de $x$ dans $B$.
}
{\'Etant donn\'ee une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $E$, expression de
$\varphi(x)$ en fonction des coordonn\'ees de $x$ dans $B$.}
\so

\tit{c) Dimension d'un sous-espace vectoriel}

\tx{Tout \sev\ $E'$ d'un espace vectoriel de dimension finie $E$ est de
dimension finie et $\dim E'\leq \dim E$, avec \'egalit\'e si et seulement si
$E'=E$. Rang d'une famille de vecteurs.
}
{}
\so

\tx{Existence de sous-espaces vectoriels suppl\'ementaires d'un sous-espace
vectoriel donn\'e; dimension d'un suppl\'ementaire.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre la relation $\dim(E+F)=\dim E+\dim F
-\dim(E\cap F)$.}
\so

\tit{d) Rang d'une application lin\'eaire}

\tx{\op\ \'Etant donn\'ee une application lin\'eaire $u$ de $E$ dans $F$, $u$
d\'efinit un isomorphisme de tout suppl\'ementaire de $\Ker u$ sur $\im u$ \op;
en particulier, $$\dim E=\dim\Ker u+\dim\im u.$$
}
{Dans le cadre de l'horaire de $9$ heures, seule figure au programme la
relation entre les dimensions du noyau et de l'image, dont la d\'emonstration
n'est pas exigible des \'etudiants.}
\so

\tx{Rang d'une application lin\'eaire, caract\'erisation des isomorphismes.
}
{Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.}
\so

\tx{Caract\'erisation des \'el\'ements inversibles de l'alg\`ebre ${\cal L}(E)$.
D\'efinition du groupe lin\'eaire $\gle$; homoth\'eties de rapport non nul,
affinit\'es, sym\'etries. Caract\'erisation des sym\'etries par la relation
$s^2=I_E$.
}
{L'\'etude g\'en\'erale du groupe lin\'eaire est hors programme.}
\so

\titre{2- Calcul matriciel}

{\sl Le calcul matriciel pr\'esente deux aspects qu'il convient de mettre en
valeur:

-~Calcul sur des tableaux de nombres, interpr\'et\'es en termes d'applications
lin\'eaires de $\K^p$ dans $\K^n$ munis de leurs bases canoniques.

-~Expression dans des bases d'une application lin\'eaire d'un espace
vectoriel dans un autre.

Un des objectifs importants est d'interpr\'eter matriciellement un changement
de base dans un espace vectoriel, puis d'\'etudier l'effet d'un changement de
base(s) sur la matrice associ\'ee \`a un endomorphisme (\`a une application
lin\'eaire). En revanche, les notions de matrices semblables et de matrices
\'equivalentes sont hors programme.}
\so

\tit{a) Op\'erations sur les matrices}

\tx{Espace vectoriel $\mnpk$ des matrices \`a $n$ lignes et $p$ colonnes sur
\K. Base canonique $(E_{i,j})$ de $\mnpk$; dimension de $\mnpk$.
Isomorphisme canonique de ${\cal L}(\K^p,\K^n)$ sur $\mnpk$. D\'efinition du
produit matriciel, bilin\'earit\'e.
}
{Identification des matrices colonnes et des vecteurs de $\K^n$, des
matrices lignes et des formes lin\'eaires sur $\K^p$.

\'Ecriture matricielle $Y=M\,X$ de l'effet d'une application lin\'eaire sur
un vecteur.}
\so

\tx{Alg\`ebre $\mnk$ des matrices carr\'ees \`a $n$ lignes.
}
{Matrices diagonales, triangulaires sup\'erieures (ou inf\'erieures).}
\so

\tx{Isomorphisme canonique de l'alg\`ebre ${\cal L}(\K^n)$ sur l'alg\`ebre
$\mnk$.
}
{Dans le cadre de l'horaire de $9$ heures, ce r\'esultat est exprim\'e en
disant que cette application est lin\'eaire bijective et conserve le
produit.}
\so

\tx{Matrices carr\'ees inversibles; d\'efinition du groupe lin\'eaire $\glnk$.
}
{}
\so

\tx{Transpos\'ee d'une matrice. Compatibilit\'e avec les op\'erations alg\'ebriques
sur les matrices.
}
{}
\so

\tx{Matrices carr\'ees sym\'etriques, antisym\'etriques.
}
{Les matrices sym\'etriques et les matrices antisym\'etriques constituent des
sous-espaces suppl\'ementaires.}
\so

\tit{b) Matrices et applications lin\'eaires}

\tx{Matrice $M_{B,C}(u)$ associ\'ee \`a une application lin\'eaire $u$ d'un
espace vectoriel $E$ muni d'une base $B$ dans un espace vectoriel $F$ muni
d'une base $C$.
}
{La $j$-i\`eme colonne de $M_{B,C}(u)$ est constitu\'ee des coordonn\'ees dans la
base $C$ de l'image par $u$ du $j$-i\`eme vecteur de la base $B$.}
\so

\tx{L'application $u\mapsto M_{B,C}(u)$ est un isomorphisme de
${\cal L}(E,F)$ sur $\mnpk$; dimension de ${\cal L}(E,F)$.
\so

Matrice $M_B(u)$ associ\'ee \`a un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel
$E$ muni d'une base $B$.
}
{}
\so

\tx{L'application $u\mapsto M_B(u)$ est un isomorphisme d'alg\`ebres.
}
{Dans le cadre de l'horaire de $9$ heures, ce r\'esultat est exprim\'e en
disant que cette application est lin\'eaire et conserve le produit.}
\so

\tx{Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs.
}
{}
\so

\tx{Matrice de passage d'une base $B$ \`a une base $B'$ d'un espace vectoriel
$E$; effet d'un changement de base(s) sur les coordonn\'ees d'un vecteur, sur
la matrice d'une application lin\'eaire, sur la matrice d'un endomorphisme.
}
{La matrice de passage de la base $B$ \`a la base $B'$ est, par d\'efinition,
la matrice de la famille $B'$ dans la base $B$: sa $j$-i\`eme colonne est
constitu\'ee des coordonn\'ees dans la base $B$ du $j$-i\`eme vecteur de la base
$B'$. Cette matrice est aussi $M_{B',B}(I_E)$.}
\so

\tit{c) Op\'erations \'el\'ementaires sur les matrices}

\tx{Op\'erations (ou manipulations) \'el\'ementaires sur les lignes (ou les
colonnes) d'une matrice.
}
{Les op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes sont les suivantes:

-~addition d'un multiple d'une ligne \`a une autre (codage: $L_i\leftarrow
L_i+\alpha L_j$);

-~multiplication d'une ligne par un scalaire non nul (codage:
$L_i\leftarrow \alpha L_i$);

-~\'echange de deux lignes (codage: $L_i\leftrightarrow L_j$).}
\so

\tit{d) Rang d'une matrice}

\tx{D\'efinition du rang d'une matrice (rang de l'application lin\'eaire
canoniquement associ\'ee, ou encore rang des vecteurs colonnes).
}
{Pour toute application lin\'eaire $u$ de $E$ dans $F$, le rang de $u$ est
\'egal au rang de $M_{B,C}(u)$, o\`u $B$ est une base de $E$ et $C$ une base de
$F$.
}
\so

\tx{\op\ Une matrice de $\mnpk$ est de rang $r$ si et seulement si elle est
de la forme $UJ_rV$ o\`u $U$ et $V$ sont des matrices carr\'ees inversibles
\op.
}
{La matrice $J_r$ est l'\'el\'ement $(\alpha_{i,j})$ de $\mnpk$ d\'efini par les
relations: $$\alpha_{i,j}=\cases{1 & si $i=j\leq r$\cr 0 & dans tous les
autres cas.\cr}$$}
\so

\tx{Invariance du rang par transposition.
}
{Dans le cadre de l'horaire de $9$ heures, la d\'emonstration de cette
invariance est hors programme.}
\so

\tit{e) Syst\`emes d'\'equations lin\'eaires}

\tx{D\'efinition, syst\`eme homog\`ene associ\'e; interpr\'etations. Description de
l'ensemble des solutions.

Rang d'un syst\`eme lin\'eaire. Dimension de l'espace vectoriel des solutions
d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation d'un syst\`eme de $n$
\'equations lin\'eaires \`a $p$ inconnues, \`a l'aide des vecteurs de $\K^n$, et
d'une application lin\'eaire de $\K^p$ dans $\K^n$ (ainsi que la traduction
matricielle correspondante).}
\so

\tx{Existence et unicit\'e de la solution lorsque $r=n=p$ (syst\`emes de
Cramer). R\'esolution des syst\`emes de Cramer triangulaires.
}
{Le th\'eor\`eme de Rouch\'e-Fonten\'e et les matrices bordantes sont hors
programme.}
\so

\tit{f) D\'eterminants d'ordres 2 et 3}

\tx{D\'eterminant de deux vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de
dimension 2, de trois vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de
dimension 3. Caract\'erisation des bases.

Application \`a l'expression de la solution d'un syst\`eme de Cramer \`a deux ou
trois inconnues.
}
{Dans le plan, lignes de niveau de $$M\mapsto\det_B(\vect{u},\vect{AM}),$$
\'equation d'une droite du plan. Extension \`a l'espace.}
\so

\tx{D\'eterminant d'un endomorphisme, du compos\'e de deux endomorphismes;
caract\'erisation des automorphismes.
}
{Lorsque $\K=\R$, application \`a l'orientation du plan, de l'espace; la
donn\'ee d'une base d\'etermine une orientation. Bases directes du plan ou de
l'espace orient\'e.
}
\so

\tx{D\'eterminant d'une matrice carr\'ee. D\'eterminant du produit de deux
matrices.
}
{}
\so

\titre{3- G\'eom\'etrie affine du plan et de l'espace}

{\sl L'objectif essentiel est d'exploiter les outils de l'alg\`ebre lin\'eaire
pour approfondir l'\'etude, illustr\'ee de nombreuses figures, des propri\'et\'es
affines du plan et de l'espace, d\'ej\`a abord\'ee dans les classes ant\'erieures.
En revanche, l'\'etude des espaces affines g\'en\'eraux est hors programme; le
programme se place dans le cadre des sous-espaces affines des espaces
vectoriels sur \R\ de dimension inf\'erieure ou \'egale \`a 3 et des applications
affines d'un tel espace vectoriel dans un autre. Afin de relier ce point de
vue \`a celui adopt\'e dans les classes ant\'erieures, il convient de signaler
que le choix d'une origine du plan ou de l'espace permet d'identifier
points et vecteurs. Dans tout le programme, on effectue cette
identification.}
\so

\tit{a) Translations, sous-espaces affines}

\tx{Translations d'un espace vectoriel $E$ de dimension inf\'erieure ou \'egale
\`a 3; notation $A+x$ o\`u $A$ est un point de $E$ et $x$ un vecteur de $E$.
}
{Les \'el\'ements de $E$ sont appel\'es indiff\'erement vecteurs ou points.}
\so

\tx{D\'efinition des droites et des plans comme sous-espaces affines;
direction, parall\'elisme, intersection. Vecteurs directeurs.
}
{Les \'etudiants doivent ma\^{\i}triser les relations d'incidence entre droites du
plan, et entre droites et plans de l'espace.}
\so

\tit{b) Applications affines, transformations affines}

\tx{D\'efinition d'une application affine, application lin\'eaire associ\'ee;
translations, homoth\'eties, projections.

Image d'une droite, d'un plan par une application affine. D\'efinition d'un
isomorphisme affine, d'un automorphisme affine (ou transformation affine);
translations, homoth\'eties de rapport non nul, affinit\'es, sym\'etries.
}
{Les \'etudiants doivent savoir qu'une application affine conserve
l'alignement et le parall\'elisme. En revanche, l'\'etude g\'en\'erale des
applications affines et le groupe affine sont hors programme.}
\so

\tit{c) Rep\`eres cart\'esiens}

\tx{Rep\`eres cart\'esiens d'un sous-espace affine $W$, rep\`ere cart\'esien
canonique de $\R^2$, de $\R^3$; coordonn\'ees d'un point, expression d'une
application affine.

Changement d'origine, changement de rep\`ere.
}
{Un rep\`ere cart\'esien de $W$ est un couple form\'e d'un point de $W$ et d'une
base de la direction de $W$.}
\so

\tx{\'Equations cart\'esiennes d'une droite du plan, d'un plan de l'espace.
D\'efinition d'une droite de l'espace par deux \'equations.
}
{}
\so

\tx{D\'efinition d'un param\'etrage d'une droite, d'un plan.
}
{La donn\'ee d'un rep\`ere cart\'esien d\'etermine un param\'etrage.}
\so

\tit{d) Barycentres}

\tx{D\'efinition des barycentres, associativit\'e. Stabilit\'e d'une droite ou
d'un plan par barycentration.

D\'efinition d'un segment. Param\'etrage d'un segment.
}
{La caract\'erisation des droites et des plans \`a l'aide des barycentres, les
notions de coordonn\'ees barycentriques, de rep\`ere affine et de partie
convexe sont hors programme.}
\so

\tx{Image d'un barycentre par une application affine.
}
{La caract\'erisation des applications affines \`a l'aide des barycentres est
hors programme.}
\so

\tp

\tx{Exemples d'\'etude de l'ind\'ependance lin\'eaire d'une famille finie de
vecteurs.

Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels
suppl\'ementaires, et d'emploi de bases, de suppl\'ementaires et de changements
de base, notamment pour l'\'etude des \'equations lin\'eaires.
}
{Il convient d'exploiter les espaces vectoriels $\K^n$ et $\mnk$, ainsi que
les espaces vectoriels de polyn\^omes, de suites et de fonctions (calcul de
la puissance $n$-i\`eme d'une matrice, interpolation, \'etude de suites
r\'ecurrentes lin\'eaires, d'\'equations diff\'erentielles$\ldots$).}
\so

\tx{Exemples d'\'etude de syst\`emes d'\'equations lin\'eaires (r\'esolution des
syst\`emes de Cramer, d\'etermination du rang, recherche d'une base de l'espace
vectoriel des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene, existence et
calcul d'une solution particuli\`ere lorsque $r=n$ ou $r=p$).
}
{Lorsque $p\ie3$, en liaison avec l'\'etude de l'incidence des droites du
plan et des plans de l'espace, les \'etudiants doivent savoir expliciter
l'ensemble des solutions quel que soit le rang.}
\so

\tx{\S\ Emploi des op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes et les colonnes
d'une matrice \`a coefficients num\'eriques pour la r\'esolution des syst\`emes de
Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de d\'eterminants, la
d\'etermination du rang d'une matrice.
}
{}
\so

\tx{\S\ Emploi de ces op\'erations pour l'inversion des matrices carr\'ees.
}
{}
\so

\Titre{III. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET G\'EOM\'ETRIE EUCLIDIENNE}

{\sl Cette partie figure au programme de la seconde p\'eriode.
\so

L'objectif est double:

-~Acqu\'erir les notions de base sur le produit scalaire, sur les espaces
vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3 (bases orthonormales,
suppl\'ementaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux, sym\'etries et
rotations, matrices de rotation) et sur la g\'eom\'etrie euclidienne du plan et
de l'espace (distances, angles, isom\'etries, d\'eplacements, similitudes
directes).

-~Ma\^{\i}triser les relations entre le point de vue g\'eom\'etrique (vecteurs et
sym\'etries et rotations, points et isom\'etries) et le point de vue
matriciel.

Il convient d'\'etudier conjointement les espaces vectoriels euclidiens de
dimension 2 ou 3 et la g\'eom\'etrie affine euclidienne et, dans les deux cas,
d'illustrer les notions et les r\'esultats par de nombreuses figures.
\so

La mesure de l'angle orient\'e de deux vecteurs unitaires de $\R^2$ est
d\'efinie \`a $2\pi$ pr\`es, par l'application $\theta\mapsto e^{i\theta}$ de \R\
sur \U. Toute d\'efinition g\'eom\'etrique des angles est hors programme.
\so

Dans toute cette partie, le corps de base est \R.}
\so

\titre{1- Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens}

\tit{a) Produit scalaire}

\tx{Produit scalaire $(x,y)\mapsto (x|y)$ (not\'e aussi en g\'eom\'etrie
$(\vect{x},\vect{y})\mapsto\vect{x}{\cdot}\vect{y}$) sur un \R-espace
vectoriel. In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz; norme euclidienne, distance
associ\'ee, in\'egalit\'e triangulaire.

Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels
orthogonaux, orthogonal d'un \sev. Familles orthogonales, familles
orthonormales; relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie.
}
{L'\'etude de ces notions doit \^etre illustr\'ee par de nombreux exemples, et
notamment:

-~le produit scalaire canonique de $\R^n$;
\so

-~$(f,g)\mapsto(f|g)=\int_{[a,b]}fg$ dans ${\cal C}([a,b])$;
\so

-~$(f,g)\mapsto(f|g)={1\over 2\pi}\int_{[0,2\pi]}fg$ dans l'espace
vectoriel ${\cal C}_{2\pi}$ des fonctions continues $2\pi$-p\'eriodiques sur
\R.}
\so

\tx{Relations entre produit scalaire et norme:
$$\eqalign{&\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2(x|y),\cr
&\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2(x|y),\cr
&\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2),\cr
&4(x|y)=\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}$$ (identit\'e de polarisation).
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation g\'eom\'etrique de ces
relations (triangle et parall\'elogramme).}
\so

\tx{D\'efinition d'un espace vectoriel euclidien.
}
{Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel de dimension finie
muni d'un produit scalaire.}
\so

\tit{b) Espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3}

\tx{Existence de bases orthonormales, compl\'etion d'une famille orthonormale
en une base orthonormale.

La donn\'ee d'une base orthonormale d'un espace vectoriel euclidien $E$ de
dimension 2 (resp. 3) d\'etermine un isomorphisme de $\R^2$ (resp. $\R^3$),
muni du produit scalaire canonique, sur $E$.
}
{Expressions dans une base orthonormale des coordonn\'ees et de la norme d'un
vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distance de deux
points.}
\so

\tx{L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel $F$ est un suppl\'ementaire de ce
sous-espace vectoriel, appel\'e suppl\'ementaire orthogonal de $F$ et not\'e
$F^\perp$ ou $F^\circ$.
}
{\op\ Toute forme lin\'eaire $f$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme
$f(x)=(a|x)$, o\`u $a$ est un vecteur \op.}
\so

\tx{Projecteurs orthogonaux, sym\'etries orthogonales, r\'eflexions.
}
{Expression de la projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace
muni d'une base orthonormale.}
\so

\tx{Dans le plan (resp. l'espace) euclidien orient\'e, la donn\'ee d'une
orientation d'une droite $D$ induit une orientation de la droite (resp. du
plan) $D^\perp$.
}
{}
\so

\tit{c) Sym\'etries et rotations du plan}

\tx{\'Etant donn\'es deux vecteurs distincts $a$ et $b$ de $E$ tels que
$\|a\|=\|b\|$, il existe une r\'eflexion et une seule \'echangeant $a$ et $b$.
}
{}
\so

\tx{Dans un plan euclidien orient\'e, d\'eterminant de deux vecteurs dans une
base orthonormale directe, not\'e $\det(a,b)$.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation de $|\det(a,b)|$ en
termes d'aire.}
\so

\tx{Dans un plan euclidien orient\'e, mesure $\theta$ (d\'efinie modulo $2\pi$)
de l'angle orient\'e de deux vecteurs $a$ et $b$ non nuls.
}
{Relations $$(a|b)=\|a\|\,\|b\|\,\cos\theta,\,
\det(a,b)=\|a\|\,\|b\|\,\sin\theta.$$}
\so


\tx{Rotations d'un plan euclidien.
}
{\'Etude de la d\'ecomposition d'une rotation en produit de deux r\'eflexions.}
\so

\tx{Matrice dans une base orthonormale directe d'une rotation; matrice de
rotation $R(\theta)$ associ\'ee \`a un nombre r\'eel $\theta$.
\so

\op\ Morphisme $\theta\mapsto R(\theta)$ de \R\ sur le groupe des matrices
de rotation \op.
}
{Si $u$ est la rotation d'angle de mesure $\theta$, alors pour tout vecteur
unitaire $a$,
$$\cos\theta=\big(a|u(a)\big),\quad\sin\theta=\det\big(a,u(a)\big).$$}
\so

\tit{d) Sym\'etries et rotations de l'espace}

\tx{Dans un espace euclidien orient\'e de dimension 3, d\'eterminant de trois
vecteurs dans une base orthonormale directe, not\'e $\det(a,b,c)$.
Produit vectoriel, notations $u\wedge v$ ou $u\times v$. Expression des
coordonn\'ees du produit vectoriel dans une base orthonormale directe.
}
{Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'interpr\'etation g\'eom\'etrique de
$|\det(a,b,c)|$ en termes de volume.}
\so

\tx{Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, mesure $\theta$ (o\`u
$0\ie\theta\ie\pi$) de l'angle de deux vecteurs $a$ et $b$ non nuls.
}
{Relations $$(a|b)=\|a\|\,\|b\|\,\cos\theta,\,\,\|a\wedge
b\|=\|a\|\,\|b\|\,\sin\theta.$$}
\so

\tx{Rotations d'un espace euclidien orinet\'e de dimension 3.
}
{\'Etude de la d\'ecomposition d'une rotation en produit de deux r\'eflexions.}
\so

\tx{Axe et mesure de l'angle d'une rotation d'un espace euclidien orient\'e
de dimension 3. \'Etant donn\'ee une rotation $u$ d'axe dirig\'e par un vecteur
unitaire $a$ et d'angle de mesure $\theta$ (modulo $2\pi$), l'image d'un
vecteur $x$ orthogonal \`a l'axe est donn\'ee par
$$u(x)=(\cos\theta)\,x+(\sin\theta)\,a\wedge x.$$
}
{Les \'etudiants doivent savoir d\'eterminer l'axe et la mesure de l'angle
d'une rotation, ainsi que l'image d'un vecteur quelconque et la matrice
associ\'ee \`a cette rotation.}
\so

\titre{2- G\'eom\'etrie euclidienne du plan et de l'espace}

\tit{a) Distances, angles}

\tx{Rep\`eres orthonormaux.

Sous-espaces affines orthogonaux du plan et de l'espace; projections
orthogonales.

Distance d'un point \`a une droite du plan, \`a une droite ou un plan de
l'espace.

Dans le plan euclidien orient\'e, mesure de l'angle orient\'e de deux
demi-droites.

Dans l'espace euclidien de dimension 3, mesure de l'angle de deux droites,
de deux plans, d'une droite et d'un plan.
}
{Les \'etudiants doivent savoir calculer les projections orthogonales, les
distances, et les mesures des angles indiqu\'es ci-contre, et savoir les
exprimer dans un rep\`ere orthonormal.}
\so

\tx{\'Etude des lignes de niveau de $M\mapsto(\vect{u}|\vect{AM})$, o\`u
$\vect{u}$ est un vecteur unitaire.
}
{\'Equations normales d'une droite dans le plan, d'un plan dans l'espace.}
\so

\tit{b) Isom\'etries du plan et de l'espace}

\tx{D\'efinition d'une isom\'etrie du plan (resp. de l'espace): transformation
affine conservant les distances. D\'efinition d'un d\'eplacement. Translations,
r\'eflexions, rotations.
}
{\'Etude du produit de deux r\'eflexions du plan (resp. de l'espace).

L'\'etude g\'en\'erale des isom\'etries du plan (resp. de l'espace) est hors
programme.}
\so

\tx{\'Etant donn\'es deux points distincts $A$ et $B$ du plan ou de l'espace,
il existe une r\'eflexion et une seule \'echangeant $A$ et $B$.
}
{Les \'etudiants doivent savoir calculer l'image d'un point $M$ par cette
r\'eflexion.}
\so

\tx{Tout d\'eplacement du plan est soit une translation, soit une rotation.

Tout d\'eplacement de l'espace est soit une translation, soit une rotation,
soit un vissage.
}
{}
\so

\tit{c) Similitudes directes du plan}

\tx{D\'efinition d'une similitude (transformation affine multipliant les
distances dans un rapport donn\'e); rapport de similitude.

D\'efinition d'une similitude directe. Homoth\'eties de rapport non nul,
translations, rotations.

\'Ecriture complexe d'une similitude directe. Centre et mesure de l'angle
d'une similitude directe distincte d'une translation.
}
{L'\'etude g\'en\'erale des similitudes du plan est hors programme.

Les \'etudiants doivent conna\^{\i}tre l'effet d'une similitude directe sur les
angles orient\'es et les aires.}
\so

\tx{\'Etant donn\'es deux segments $AB$ et $A'B'$ de longueur non nulle, il
existe une similitude directe et une seule transformant $A$ en $A'$ et $B$
en $B'$.
}
{Les \'etudiants doivent savoir d\'eterminer le rapport, la mesure de l'angle
et le centre de cette similitude directe lorsqu'elle n'est pas une
translation.}
\so

\tit{d) Cercles et sph\`eres}

\tx{Dans le plan, intersection d'un cercle et d'une droite.

Dans l'espace, intersection d'une sph\`ere et d'un plan.

\'Equations cart\'esiennes d'un cercle, d'une sph\`ere.
}
{Caract\'erisation d'un cercle et d'une sph\`ere par l'\'equation
$\vect{MA}\cdot\vect{MB}=0$ o\`u $AB$ est un diam\`etre.}
\so

\tit{e) Coniques}

\tx{Dans le plan, lignes de niveau de $\dis{MF\over MH};$ d\'efinition
par excentricit\'e, foyer et directrice d'une parabole, d'une ellipse, d'une
hyperbole. \'Equations r\'eduites, centres, sommets, foyers. Asymptotes d'une
hyperbole.
}
{Effet d'une similitude sur une conique.

Caract\'erisation des ellipses et des hyperboles \`a l'aide des lignes de
niveau de $MF+MF'$ et de $|MF-MF'|$ (d\'efinition bifocale).}
\so

\tx{D\'efinition d'une conique par une \'equation cart\'esienne (dans un rep\`ere
orthonormal) de la forme $$\alpha x^2+\beta y^2+2\gamma x+2\delta
y+\varepsilon=0.$$ \'Equation r\'eduite.
}
{En dehors du cas indiqu\'e ci-contre et de celui des hyperboles d\'efinies par
une relation $xy=\lambda$, aucune connaissance sp\'ecifique sur la r\'eduction
des coniques d\'efinies par une \'equation cart\'esienne n'est exigible des
\'etudiants.}
\so

\tx{Image d'un cercle par une affinit\'e orthogonale.
}
{Projection orthogonale d'un cercle de l'espace sur un plan.}
\so

\tp

\tx{\S\ En dimensions 2 ou 3, exemples d'emploi de bases orthonormales, de
suppl\'ementaires orthogonaux et de changements de base orthonormale.
}
{}
\so

\tx{\S\ En dimensions 2 et 3, exemples d'emploi du produit scalaire, du
produit vectoriel et du produit mixte pour l'\'etude de configurations du
plan et de l'espace (calcul de projections orthogonales, de distances, de
mesures d'angles, d'aires, de volumes$\ldots$).
}
{}
\so

\tx{\S\ En dimensions 2 et 3, exemples de recherche de lignes de niveau,
d\'efinies notamment par des conditions portant sur des distances et des
mesures d'angles.
}
{Dans le plan, lignes de niveau de $\vect{MA}\cdot\vect{MB}$, de $\dis
\sum_i\alpha_i{MA_i}^2$, de $\dis{MA\over MB}$ et de
$(\vect{MA},\vect{MB})$.}
\so

\bye
