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% LES FONTES
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\font \pc=cmr8 at 8pt  % Pour \'ecrire les si\`ecles

\font\tenbb=cmbx10 at 10pt       % police provisoire pour R,N,Q,Z
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% Guillemets fran\c c ais

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\let\dis=\displaystyle
\let\scr=\scriptstyle

\let\eps=\varepsilon  % Le "bon" epsilon
\let\vphi=\varphi     % Le phi usuel

% le signe $

\def\prg#1{{\ifmmode{\cal{\char'170}}\else${\cal{\char'170}}$\fi}\kern.15em
#1}


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                          %  * TITRES ET COLONNES *

\long\def\TITRE#1{\bigskip

\centerline{\Largeb #1}

\bigskip}

\let\saut=\medskip

\long\def\Titre#1{\bigskip

\quad{\large #1}

\bigskip}

\long\def\titre#1{\medskip

\centerline{\bf #1}

\medskip}

\long\def\item#1{\smallskip

{\bf #1}

\medskip}

\long\def\texte#1#2{
\hbox{\hbox to 94mm{
\vtop{\hsize=90mm#1\vfill}\hfill}
\hfill
\hbox to 74mm{
\vtop{\hsize=70mm#2\vfill}\hfill}
}
}

\long\def\tp{\so\centerline{\bsl Travaux pratiques}

\so}
\let\tx=\texte

\let\tit=\item

\let\so=\saut
\let\ie=\leq
\let\se=\geq


          %  ****  MISE EN PAGE  ****
\noindent
     % encadrement d'une bo\^ite: cadre {largeur blanc} {bo\^ite}
\long\def\cadre#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule%
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}\par}


     % trait de s\'eparation
\def\trait{\par\centerline{\hbox{\vrule height .4pt depth 0pt width 12cm}}}


% FRACTIONS
\def\Frac#1#2{{\displaystyle#1\over\displaystyle#2}}
\def\frac#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}}

% D\'ERIV\'EES
\def\Der#1#2{\Frac{\hbox{d}#1}{\hbox{d}#2}} % Ex:\Der{y}{x}
\def\Derr#1#2{\Frac{\hbox{d}^2#1}{\hbox{d}#2^2}}
\def\Dron#1#2{\Frac{\partial#1}{\partial#2}}
\def\dron#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}

% LES ENSEMBLES DE NOMBRES N,Z,Q,R,C,...
\def \Z {{\bb Z}}
\def \R {\hbox{{\bb R}}}
\def \C {{\bb C}}
\def \N {{\bb N}}
\def \Q {{\bb Q}}
\def \K {\hbox{{\bb K}}}
\def \U {{\bb U}}

% FLECHES
\def \vect#1{\overrightarrow{#1}} % vecteur
\let\Tend=\longrightarrow
\let \ssi=\Longleftrightarrow
\def\implique{\ \Longrightarrow\ }

% BARRES, INTERVALLES ENTIERS
\def \vabs#1{\vert #1 \vert}
\def \norme#1{\Vert #1 \Vert}
\def \Norme#1{\vert\vert\vert #1 \vert\vert \vert}
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}

% EXPONENTIELLE ET HYPERBOLIQUES
\def\e{{\rm e}}
\def\ii{{\rm i}}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm arg\,ch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm arg\,sh}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm arg\,th}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits}

\def\ker{{\rm Ker\,}}
\def\im{{\rm Im\,}}

% INT\'EGRALE DOUBLE
\def \intt{{\int \kern-5.pt \int \kern-4.pt}}

% ADH\'ERENCE, INT\'ERIEUR
\def\adh#1{\overline{\!#1}}
\def\rond#1{\buildrel\;\circ\over #1}

% SUPERPOSITION
\def\up#1{\raise 1ex\hbox{\septtm#1}}
% op\'erateur avec dessous: build {op\'erateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
% op\'erateur avec deux dessous: Build {op\'erateur} {dessous1}{dessous2}
\def\Build#1#2#3{\build{{#1}}{\scriptstyle{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
% fl\`eche double : fleche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to 9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}
% fl\`eche triple : Fleche {variable} {valeur} {3i\`eme ligne}
\def\Fleche#1#2#3{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{\scriptstyle{#1}\rightarrow{#2}\atop\scriptstyle{#3}}
}
\let\tend=\rightarrow

% MATH\'EMATIQUE   le mot math\'ematique pour hyph\'enation   \math
\def\math{ma\-th\'e\-ma\-ti\-que}

% \'EL\'EMENT        \elem
\def\elem{{\'el\'e}\-{ment}}

% COEFFICIENT DU BINOME  cnp{n}{p}
\def\cnp#1#2{{\displaystyle\Big({{\scriptstyle #1}\atop
{\scriptstyle #2}}\Big)}}


% D\'ETERMINANT
\def\Det#1{\left\vert\matrix{#1}\right\vert}
\def \adots {\mathinner {\mkern1mu \raise1pt
              \hbox{.}  \mkern2mu \raise4pt \hbox{.} \mkern2mu
               \raise7pt \vbox{\kern 7pt \hbox{.}}    \mkern1mu}}

% DESSINS

% pour placer des dessins : dessin {titre} {hauteur}
% le titre doit tenir sur une ligne, la hauteur est du genre 2.5cm ou 37mm
\def \dessin#1#2{
\vbox to #2{\noindent{
\hrule width \hsize height 0pt depth 0pt
\vfill

\centerline{#1}
}}\medskip}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    FIN DES MACROS       %%%%%%%%%%


\titrecourant={{\bf PT}}
\partiecourante={{\bf PT}}

\premiertitre={{\large ANNEXE I}}
\centerline{\large OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATH\'EMATIQUES}
\smallskip


\vskip2cm

{\largeb I. OBJECTIFS DE FORMATION DE LA FILI\`ERE PT}

\bigskip
\titre{1) Objectifs g\'en\'eraux de la formation}
\bigskip

Dans la fili\`ere PT, les math\'ematiques constituent conjointement une
discipline scientifique \`a part enti\`ere, d\'eveloppant des concepts, des
r\'esultats, des m\'ethodes et une d\'emarche sp\'ecifiques, et une
discipline
fournissant des connaissances et des m\'ethodes n\'ecessaires \`a la
physique, \`a
l'informatique, \`a la chimie et aux sciences industrielles.
\medskip

La r\'eflexion sur les concepts et les m\'ethodes, la pratique du
raisonnement
et de la d\'emarche math\'ematique constituent un objectif majeur. Les
\'etudiants
doivent conna\^itre les d\'efinitions et les \'enonc\'es des th\'eor\`emes
figurant au
programme, savoir analyser la port\'ee des hypoth\`eses et des r\'esultats,
et
savoir mobiliser leurs connaissances pour l'\'etude de probl\`emes. Les
d\'emonstrations qui sont utiles \`a une bonne compr\'ehension du cours
sont au
programme. En revanche, certains r\'esultats puissants utiles aux sciences
de l'ing\'enieur sont admis.
\medskip

\tit{a) Objectifs de la formation}

La formation est con\c c ue en fonction de quatre objectifs essentiels:

\quad- D\'evelopper conjointement l'intuition, l'imagination, le
raisonnement et
la rigueur.

\quad- Promouvoir la r\'eflexion personnelle des \'etudiants sur les
probl\`emes et
les ph\'enom\`enes math\'ematiques, sur la port\'ee des concepts, des
hypoth\`eses,
des r\'esultats et des m\'ethodes, au moyen d'exemples et de contre
exemples;
d\'evelopper ainsi une attitude de questionnement et de recherche.

\quad- Exploiter toute la richesse de la d\'emarche math\'ematique:
analyser un
probl\`eme, exp\'erimenter sur des exemples, formuler une conjecture,
\'elaborer
et mettre en \oe uvre des concepts et des r\'esultats th\'eoriques,
r\'ediger une
solution rigoureuse, contr\^oler les r\'esultats obtenus et \'evaluer la
pertinence des concepts et des r\'esultats au regard du probl\`eme pos\'e,
sont
des \'el\'ements indissociables de cette d\'emarche; valoriser ainsi
l'interaction entre d'une part l'\'etude de ph\'enom\`enes et de
probl\`emes
math\'ematiques, et d'autre part l'\'elaboration et la mise en \oe uvre des
concepts th\'eoriques, les phases d'abstraction et de mise en th\'eorie
interagissant donc constamment avec celles de passage aux exemples et aux
applications.

\quad- Privil\'egier les probl\`emes math\'ematiques susceptibles de
d\'evelopper la
r\'eflexion personnelle des \'etudiants et les capacit\'es de synth\`ese.
En
particulier, on ne saurait en aucun cas se limiter \`a l'\'etude de
probl\`emes
dont les \'enonc\'es sont ferm\'es et d'exercices mettant en \oe uvre des
techniques bien r\'epertori\'ees. Il est n\'ecessaire d'entra\^iner les
\'etudiants \`a
se poser eux-m\^emes des questions, c'est-\`a-dire \`a prendre en compte
une
probl\'ematique math\'ematique.
\medskip

\tit{b)  Unit\'e de la formation scientifique}

Il est important de mettre en valeur l'interaction entre les diff\'erentes
parties du programme d'une m\^eme discipline, tant au niveau du cours que
des
th\`emes des travaux propos\'es aux \'etudiants. Plus largement,
l'enseignement
d'une discipline scientifique est \`a relier \`a celui des autres
disciplines
sous deux aspects principaux : organisation concert\'ee des activit\'es
d'enseignement d'une m\^eme classe; \'etude de questions mettant en \oe
uvre
des interactions entre les champs de connaissances (math\'ematiques et
physique, math\'ematiques et informatique, math\'ematiques et sciences
industrielles, $\ldots$).

La coop\'eration des enseignants d'une m\^eme classe ou d'une m\^eme
discipline
et, plus largement, celle de l'ensemble des enseignants d'un cursus
donn\'e,
y contribue de fa\c c on efficace, notamment dans le cadre des travaux
d'initiative personnelle encadr\'es.
\medskip

Il importe aussi que le contenu culturel des math\'ematiques ne soit pas
sacrifi\'e au profit de la seule technicit\'e. En particulier, les textes
et
les r\'ef\'erences historiques permettent d'analyser l'interaction entre
les
probl\`emes math\'ematiques et la construction des concepts, mettent en
\'evidence le r\^ole central jou\'e par le questionnement scientifique pour
le
d\'eveloppement th\'eorique et montrent en outre que les sciences, et les
math\'ematiques en particulier, sont en perp\'etuelle \'evolution et que le
dogmatisme n'est pas la r\'ef\'erence en la mati\`ere.

\bigskip
\titre{2) Architecture et contenus des programmes}
\bigskip

\tit{a) Intentions majeures}

Les contenus sont organis\'es autour de quatre intentions majeures:
\medskip

\quad- R\'ealiser un \'equilibre global entre l'alg\`ebre, l'analyse et la
g\'eom\'etrie.
Il va de soi, d'ailleurs, que cette s\'eparation traditionnelle n'est
qu'une
commodit\'e de r\'edaction et ne doit pas faire oublier les interactions
nombreuses et \'etroites entre ces trois grands domaines des
math\'ematiques.
Dans cette intention, les programmes sont pr\'esent\'es selon deux grandes
parties: analyse et g\'eom\'etrie diff\'erentielle, alg\`ebre et
g\'eom\'etrie.
\medskip

\quad- Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en
d\'egageant les id\'ees majeures et leur port\'ee, en fournissant des
outils
puissants et efficaces, en \'evitant toute technicit\'e gratuite, et en
\'ecartant les notions qui ne pourraient \^etre trait\'ees que de fa\c c on
superficielle.
\medskip

\quad- Mettre en valeur le caract\`ere plurivalent des concepts
math\'ematiques.
Cette plurivalence s'inscrit dans un double mouvement: d'une part,
l'\'etude
d'un domaine particulier vient enrichir le concept g\'en\'eral, gr\^ace au
langage et aux m\'ethodes propres \`a ce domaine; d'autre part, le concept
g\'en\'eral permet le transfert des connaissances d'un domaine
d'application \`a
un autre. C'est dans cette perspective, et \`a l'oppos\'e de tout
dogmatisme,
que les structures constituent un outil pour une meilleure compr\'ehension
et
une meilleure pr\'ecision de la pens\'ee et fournissent des m\'ethodes pour
l'\'etude des probl\`emes math\'ematiques.
\medskip

\quad- Donner un r\^ole tr\`es important aux travaux pratiques, dont la
fonction est
double: indiquer le champ des probl\`emes et ph\'enom\`enes math\'ematiques
\`a
\'etudier en relation avec les concepts figurant au programme; pr\'eciser
les
m\'ethodes et les techniques usuelles exigibles des \'etudiants. En
revanche,
les travaux pratiques ne doivent pas conduire \`a des d\'epassements de
programme prenant la forme d'une anthologie d'exemples dont la connaissance
serait exigible des \'etudiants.
\medskip

\tit{b) Secteur de l'analyse et de ses interventions}

Dans ce secteur, le programme est centr\'e autour des concepts fondamentaux
de fonction, qui permet de mod\'eliser le comportement de mod\`eles
continus,
et de suite (ou de s\'erie), qui permet de mod\'eliser le comportement des
ph\'enom\`enes discrets. En seconde ann\'ee, les interactions entre le
continu et le
discret sont mises en valeur.

Le programme d'analyse combine l'\'etude des probl\`emes qualitatifs avec
celle
de probl\`emes quantitatifs; il d\'eveloppe conjointement l'\'etude du
comportement global de suites ou de fonctions avec celle de leur
comportement
local ou asymptotique. Pour l'\'etude des solutions des \'equations, il
combine
les probl\`emes d'existence et d'unicit\'e, les m\'ethodes de calcul exact,
les
m\'ethodes d'approximation et les algorithmes associ\'es. Pour
l'ensemble de l'analyse, il met l'accent sur les techniques de majoration.

En seconde ann\'ee, la repr\'esentation des fonctions, notamment par des
s\'eries
(s\'eries enti\`eres, s\'eries de Fourier) et par des int\'egrales,
l'\'etude des \'equations
diff\'erentielles (notamment des syst\`emes autonomes, en relation avec la
g\'eom\'etrie diff\'erentielle), l'\'etude des fonctions de plusieurs
variables
(\'egalement en interaction \'etroite avec la g\'eom\'etrie
diff\'erentielle)
tiennent une place majeure.

Pour ce qui concerne la repr\'esentation des fonctions par des
int\'egrales,
les transformations de Fourier et de Laplace et l'\'etude des int\'egrales
eul\'eriennes
sont hors programme. Ces notions peuvent \^etre rencontr\'ees \`a
l'occasion de l'\'etude
de probl\`emes, en liaison avec les sciences physiques et industrielles,
mais ne
font l'objet d'aucune connaissance exigible en math\'ematiques.

\medskip
\tit{c) Secteur de l'alg\`ebre et de ses interventions}

Dans ce secteur, le programme est centr\'e autour des concepts fondamentaux
de l'alg\`ebre lin\'eaire (points de vue g\'eom\'etrique et matriciel),
tandis que
l'\'etude des groupes des anneaux et des corps en ont \'et\'e \'ecart\'ees.

Le programme met en \oe uvre les m\'ethodes de l'alg\`ebre lin\'eaire pour
la
r\'esolution de probl\`emes issus, non seulement des autres secteurs de
l'alg\`ebre, mais aussi de l'analyse et de la g\'eom\'etrie.

En seconde ann\'ee, le programme est organis\'e autour de la r\'eduction
des
endomorphismes d'un espace vectoriel et des endomorphismes
sym\'etriques d'un espace vectoriel euclidien.
\medskip

\tit{d) Secteur de la g\'eom\'etrie et de ses interventions}

Une vision g\'eom\'etrique des probl\`emes impr\'egne l'ensemble du
programme de
math\'ematiques car les m\'ethodes de la g\'eom\'etrie jouent un r\^ole
capital en
alg\`ebre, en analyse et dans leurs domaines d'intervention: apports du
langage g\'eom\'etrique et des modes de repr\'esentation. Dans cette
fili\`ere PT,
tout particuli\`erement, la g\'eom\'etrie diff\'erentielle (\'etude des
courbes et des
surfaces) est un \'el\'ement essentiel de la formation, en relation avec la
physique
et les sciences industrielles.

\medskip
\tit{e) Articulation avec la physique, la chimie et les sciences
industrielles}

En relation \'etroite avec les concepts propres \`a la physique, \`a la
chimie et
aux sciences industrielles (m\'ecanique, \'electrocin\'etique,
\'electronique,
automatique, optique, cin\'etique chimique), le programme valorise les
interpr\'etations cin\'ematiques et dynamiques des concepts de l'analyse et
de
la g\'eom\'etrie, ainsi que leurs interpr\'etations en termes de signaux
continus
ou discrets (vitesse et acc\'el\'eration, trajectoires et lignes de niveau,
\'equations diff\'erentielles mod\'elisant l'\'evolution de syst\`emes
m\'ecaniques,
physiques ou chimiques). Ces interpr\'etations, conjointement avec les
interpr\'etations graphiques et g\'eom\'etriques, viennent en retour
\'eclairer les
concepts fondamentaux de l'analyse.
\medskip

\titre{3- Int\'egration de l'outil informatique}

\bigskip
\tit{a) La d\'emarche algorithmique}

En relation avec le programme d'informatique, l'ensemble
du programme de math\'ematiques valorise la d\'emarche algorithmique; il
int\`egre
la construction et la mise en forme d'algorithmes.
Les algorithmes associ\'es aux notions \'etudi\'ees dans le programme de
math\'ematiques en font partie, qu'ils soient mentionn\'es dans le texte
m\^eme
du programme ou dans les travaux pratiques. En revanche, en
math\'ematiques,
aucune connaissance sur la th\'eorie des algorithmes, aucun r\'esultat
g\'en\'eral
sur leurs performances n'est exigible des \'etudiants.

\tit{b) Le calcul symbolique et formel}

Les \'etudiants doivent \^etre entra\^in\'es \`a l'utilisation en
math\'ematiques du logiciel
de calcul symbolique et formel pour la r\'esolution de probl\`emes, la
formulation
de conjectures, ou la repr\'esentation graphique de r\'esultats.
L'utilisation de
ce logiciel \'evite des calculs fastidieux, et permet l'\'etude de
situations
complexes hors de port\'ee des techniques traditionnelles.

\tit{c) Emploi des calculatrices}

Cet emploi est d\'efini par la r\'eglementation en vigueur. Les \'etudiants
doivent
savoir utiliser une calculatrice programmable, dans les
situations li\'ees au programme de math\'ematiques. Cette utilisation
permet notamment
la mise en \oe uvre d'une partie des algorithmes du programme, \`a
l'occasion des
travaux pratiques de math\'ematiques. Cet emploi
combine les capacit\'es suivantes, qui constituent un savoir-faire de base:

\quad- savoir effectuer des op\'erations arithm\'etiques sur les nombres
r\'eels et
savoir comparer deux nombres r\'eels;

\quad- savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme
et savoir
programmer le calcul des valeurs d'une fonction d'une ou plusieurs
variables
permis par ces touches;

\quad- savoir programmer une instruction s\'equentielle, une instruction
conditionnelle et une instruction it\'erative comportant \'eventuellement
un
test d'arr\^et.
\bigskip

\titre{4- Conception et organisation de la formation}
\bigskip

\tit{a) Organisation du travail de la classe}

On ne saurait se borner \`a l'expos\'e, si parfait soit-il, de th\'eories
\'eventuellement suivies d'applications. Il convient au contraire de
centrer
l'enseignement autour de l'\'etude de ph\'enom\`enes et de probl\`emes
math\'ematiques, les concepts et les d\'eveloppements th\'eoriques \'etant
au
service de cette \'etude. En particulier, il est essentiel que
l'approfondissement th\'eorique ne soit coup\'e ni des probl\'ematiques qui
le
sous-tendent, ni des secteurs d'intervention qui le mettent en jeu. Deux
objectifs essentiels sont \`a poursuivre:

\quad- Promouvoir l'acquisition de m\'ethodes et entra\^iner les
\'etudiants \`a
exploiter toute la richesse de la d\'emarche math\'ematique; la classe est
donc un lieu de d\'ecouverte, d'exploitation de probl\'ematiques, un lieu
de
r\'eflexion et de d\'ebats sur les d\'emarches suivies, d'analyse des
hypoth\`eses
d'un th\'eor\`eme et de la port\'ee des concepts mis en jeu et des
r\'esultats
obtenus. Elle est aussi un lieu d'\'elaboration de synth\`eses ayant pour
triple objectif de d\'egager clairement les id\'ees et m\'ethodes
essentielles,
de pr\'eciser leur port\'ee pour la r\'esolution de probl\`emes et,
inversement,
d'analyser les principales m\'ethodes dont on dispose pour \'etudier un
type
donn\'e de probl\`eme. Dans cette perspective, les enseignements combinent
de
fa\c c on organique la formulation et l'analyse de probl\`emes,
l'\'elaboration
de concepts, la pr\'esentation, la d\'emonstration et la mise en \oe uvre
de
r\'esultats, ainsi que la mise en valeur de m\'ethodes.

\quad- D\'evelopper les capacit\'es de communication. La pertinence des
indications
\'ecrites et orales donn\'ees par le professeur et la qualit\'e de
structuration
des \'echanges interpersonnels jouent ici un r\^ole essentiel: qualit\'es
d'\'ecoute et d'expression orale (formulation d'une question, d'une
r\'eponse,
d'une id\'ee, $\ldots$), qualit\'es de lecture et d'expression \'ecrite
(ma\^itrise
du tableau, prise de notes, analyse d'un \'enonc\'e, mise au point de la
r\'edaction d'un \'enonc\'e ou d'un raisonnement, $\ldots$). La
communication
utilise des moyens diversifi\'es: non seulement le tableau, dont la
ma\^itrise
est un \'el\'ement important, mais aussi le r\'etroprojecteur et
l'ordinateur
connect\'e \`a un dispositif de projection appropri\'e.
\medskip

\tit{b) Organisation du travail personnel des \'etudiants}

Les travaux effectu\'es en dehors du temps d'enseignement, \`a la maison ou
au
lyc\'ee, ont une importance capitale; leurs fonctions sont diversifi\'ees:

\quad- L'\'etude du cours joue un r\^ole central. Son objectif est triple;
conna\^itre les concepts et r\'esultats essentiels, savoir analyser les
d\'emarches mises en jeu dans les d\'emonstrations et les techniques de
raisonnement, ma\^itriser les m\'ethodes d'\'etude des probl\`emes.
L'\'etude du
cours est donc indissociable de celle des probl\`emes.

\quad- La r\'esolution d'exercices d'entra\^inement, combin\'ee avec
l'\'etude du
cours, a pour fonction d'affermir les connaissances de base des \'etudiants
et d'\'evaluer leur capacit\'e \`a les mettre en \oe uvre sur des exemples
simples. La r\'esolution de tels exercices n'est donc pas un objectif en
soi,
et tout exc\`es de technicit\'e doit \^etre \'evit\'e. La ma\^itrise de ce
type
d'exercices est une exigence valable pour l'ensemble des \'etudiants.

\quad- L'\'etude de questions plus complexes, sous forme de pr\'eparation
d'activit\'es en classe ou de probl\`emes \`a r\'esoudre et \`a r\'ediger,
alimente le
travail de recherche, individuel ou en \'equipe, et permet aux \'etudiants
d'\'evaluer leur capacit\'e \`a mobiliser leurs connaissances de fa\c c on
coordonn\'ee. Au sein d'une m\^eme classe, les th\`emes d'\'etude peuvent
\^etre
diversifi\'es, en fonction du projet de formation des \'etudiants.

\quad- Les travaux individuels de r\'edaction en temps libre (solution d'un
probl\`eme, mise au point d'exercices \'etudi\'es en classe, rapport de
synth\`ese
sur un th\`eme d'\'etude, analyse critique d'un texte$\ldots$) visent
essentiellement \`a d\'evelopper les capacit\'es d'expression \'ecrite et
de mise
au point d'un raisonnement. La qualit\'e de la r\'edaction et de la
pr\'esentation, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements,
constituent des
objectifs tr\`es importants. Ces travaux de r\'edaction doivent donc \^etre
fr\'equents, mais leur longueur doit rester raisonnable. Leur contenu peut
\^etre diversifi\'e en fonction du projet de formation des \'etudiants.

\quad- En classe de seconde ann\'ee, les \'epreuves \'ecrites
d'\'evaluationen temps
limit\'e ont pour objectif principal de pr\'eparer les \'etudiants aux
\'epreuves \'ecrites des
concours. Les connaissances \`a mettre en \oe uvre dans ces \'epreuves ne
doivent en aucun
cas d\'epasser les exigences mentionn\'ees par le programme.

\quad- La recherche et l'exploitation (individuelle ou en \'equipe) de
documents
contribue au d\'eveloppement des capacit\'es d'autonomie. Elle permet aussi
de
d\'evelopper l'ouverture d'esprit, gr\^ace \`a la prise de connaissance de
points
de vue diversifi\'es sur une m\^eme question, et les capacit\'es d'analyse
critique, gr\^ace \`a une analyse compar\'ee de ces points de vue. Elle
permet
enfin aux \'etudiants d'approfondir leurs connaissances en compl\'ement des
travaux men\'es en classe ou en fonction de leurs centres d'int\'er\^et et
de
leur projet de formation.

\quad- La pr\'eparation et la mise en \oe uvre d'expos\'es vise \`a
d\'evelopper les
capacit\'es d'organisation de la pens\'ee et les qualit\'es d'expression
orale.
\medskip

\tit{c) \'Evaluation et notation des \'etudiants}

La communication des objectifs \`a atteindre et la mise en \oe uvre de
formes
diversifi\'ees d'\'evaluation peuvent aider de mani\`ere efficace les
\'etudiants \`a
progresser, \`a se situer et \`a affiner un choix d'orientation.

La pertinence du calibrage de la notation constitue un objectif important;
ce calibrage doit \^etre \'etabli en relation avec les performances
attendues
des \'etudiants de seconde ann\'ee dans les \'epreuves de concours. Il
convient d'\'eviter
tant la surnotation, g\'en\'eratrice d'illusion, que la sousnotation,
g\'en\'eratrice
de d\'ecouragement.

\bigskip

\titre{5- Interpr\'etation et d\'elimitation des programmes}
\bigskip

\tit{a) Objectifs}

Les connaissances et les capacit\'es exigibles des
\'etudiants sont indiqu\'ees avec pr\'ecision, de fa\c con \`a combattre
l'inflation
th\'eorique autant que l'exc\`es de technicit\'e. Il importe de souligner
la
n\'ecessit\'e imp\'erieuse de respecter les limites du programme, tant au
niveau
de l'enseignement qu'\`a celui de l'\'evaluation. Un encyclop\'edisme
relay\'e par la
pratique du bachotage irait totalement \`a l'encontre du but recherch\'e,
qui
tend \`a privil\'egier une formation de l'esprit scientifique fond\'ee sur
l'approfondissement d'un noyau limit\'e de connaissances fondamentales. Il
importe que cet \'etat d'esprit trouve sa traduction dans les sujets
propos\'es
pour l'\'evaluation des \'etudiants.
\medskip

\tit{b) Organisation du texte des programmes}

Ce texte est organis\'e en deux titres: analyse et g\'eom\'etrie
diff\'erentielle,
alg\`ebre et g\'eom\'etrie. Chacun de ces titres comporte des parties
(num\'erot\'ees I, II, $\ldots$), elles-m\^emes subdivis\'ees en chapitres
(num\'erot\'es 1, 2, $\ldots$), puis en paragraphes (rep\'er\'es a, b,
$\ldots$).
Chacune des parties comporte:

\quad- En t\^ete de partie ou de chapitre, un bandeau d\'efinissant les
objectifs
essentiels et d\'elimitant le cadre g\'en\'eral d'\'etude des notions
relatives \`a
cette partie ou \`a ce chapitre.

\quad- Pour chaque paragraphe, un texte pr\'esent\'e en deux colonnes; \`a
gauche sont
fix\'ees les connaissances et les m\'ethodes figurant au programme, \`a
droite un
commentaire indique les exemples fondamentaux \`a conna\^itre et les
m\'ethodes \`a
ma\^itriser, pr\'ecise le sens ou les limites \`a donner \`a certaines
questions,
et rep\`ere le cas \'ech\'eant l'interaction du sujet \'etudi\'e avec
d'autres
parties du programme.

\quad- En fin de partie, des th\`emes de travaux pratiques, fixant d'une
part le
champ des questions math\'ematiques \`a \'etudier et d'autre part les
m\'ethodes et
les techniques \`a conna\^itre et \`a savoir mettre en \oe uvre. Les
travaux pratiques
qui doivent donner lieu \`a l'emploi du logiciel de calcul symbolique et
formel
\'etudi\'e en informatique sont rep\'er\'es par le signe \$. Les th\`emes
qui doivent
donner lieu \`a une exploitation graphique sont rep\'er\'es par le signe *.
\medskip

\tit{c) Connaissances et capacit\'es exigibles des \'etudiants}

Parmi les connaissances (d\'efinitions, notations, \'enonc\'es,
d\'emonstrations,
exemples, contre exemples, m\'ethodes, algorithmes, $\ldots$) et les
capacit\'es
de mise en \oe uvre de ces connaissances, le texte du programme d\'elimite
de
mani\`ere pr\'ecise trois cat\'egories:

\quad- Celles qui sont exigibles des \'etudiants: il s'agit de l'ensemble
des
points figurant dans la colonne de gauche des diff\'erents paragraphes et
des
points qui sont rep\'er\'es comme tels dans la colonne de droite, dans les
bandeaux ou dans les travaux pratiques.

\quad- Celles qui sont indiqu\'ees dans les bandeaux ou dans la colonne de
droite
comme \'etant \<<hors programme\>>. Elles ne doivent pas \^etre trait\'ees
et ne
peuvent faire l'objet d'aucune \'epreuve d'\'evaluation.

\quad- Celles qui rel\`event d'activit\'es possibles ou souhaitables, mais
qui ne
sont pas exigibles des \'etudiants: il s'agit de tous les travaux pratiques
dont l'\'enonc\'e commence par la locution \<<exemples de $\ldots$\>> (dont
la
fonction est d'indiquer le champ des probl\`emes et des ph\'enom\`enes
math\'ematiques \`a \'etudier) et des points rep\'er\'es dans les bandeaux
ou dans la
colonne de droite par la locution \<<aucune connaissance sp\'ecifique sur
$\ldots$ n'est exigible des \'etudiants\>>.
\medskip

En outre, pour les d\'emonstrations des th\'eor\`emes dont l'\'enonc\'e
figure au
programme et qui sont rep\'er\'es dans la colonne de droite par la locution
\<<la d\'emonstration n'est pas exigible des \'etudiants\>>, le professeur
peut,
suivant les cas, d\'emontrer en d\'etail le r\'esultat consid\'er\'e,
indiquer l'id\'ee
de sa d\'emonstration ou l'admettre. La locution \<<la d\'emonstration est
hors
programme\>> signifie qu'il est demand\'e d'admettre le r\'esultat.
\medskip

Enfin, aucun d\'eveloppement ne doit \^etre donn\'e aux notions figurant au
programme lorsqu'elles sont uniquement rep\'er\'ees par la locution
\<<d\'efinition de$\ldots$\>>; seule cette d\'efinition est alors exigible
des
\'etudiants.


\vskip2cm
{\largeb II. PROGRAMME DES CLASSES PT ET PT${}^*$}




\bigskip

\TITRE{ANALYSE ET G\'EOM\'ETRIE DIFF\'ERENTIELLE}

\medskip
{\sl Le programme d'analyse est organis\'e autour des fonctions
d'une ou plusieurs variables r\'eelles, et de leurs interventions
en calcul diff\'erentiel et int\'egral. L'essentiel est que les \'etudiants
sachent mettre en \oe uvre et utiliser les techniques de base de
l'analyse, d\'ej\`a vues en premi\`ere ann\'ee (encadrement, passage \`a la
limite, approximation).

L'accent est mis sur l'expression des fonctions comme somme
d'une s\'erie enti\`ere ou d'une s\'erie de Fourier. Il convient de noter
toutefois qu'aucune notion g\'en\'erale n'est au programme sur les
suites et les s\'eries de fonctions et leurs modes de convergence.

M\^eme si l'\'etude des espaces vectoriels norm\'es n'est pas au programme,
le langage des normes doit \^etre utilis\'e pour les diff\'erentes
questions du programme d'analyse o\`u il est commode (normes classiques
sur $\R^n$  et $\C^n$, normes sur les espaces de fonctions...).
Les \'etudiants doivent conna\^itre les notions suivantes: d\'efinition
d'une norme sur un espace vectoriel r\'eel ou complexe, distance
associ\'ee,
boules, parties born\'ees, convergence d'une suite; ils doivent savoir
que deux normes \'equivalentes d\'efinissent la m\^eme notion de
convergence.
En revanche, mis \`a part le cas de $\R^n$ et de $\C^n$  le langage des
ouverts et des ferm\'es n'est pas au programme, et la continuit\'e
n'est trait\'ee que pour les fonctions de plusieurs variables r\'eelles.

\so
Les probl\`emes et les m\'ethodes num\'eriques doivent tenir une large
place,
non seulement en analyse, mais aussi en alg\`ebre et en g\'eom\'etrie,
\`a un double titre:

\quad-- illustration de la port\'ee des r\'esultats et des concepts, et,
en retour, motivation pour leur \'etude;

\quad-- recherche et mise en forme d'algorithmes, et comparaison
exp\'erimentale de leurs performances.

Les aspects num\'eriques sont donc \'etroitement associ\'es aux probl\`emes
math\'ematiques dont ils rel\`event; en particulier les th\`emes
d'activit\'es
num\'eriques et algorithmiques sont rep\'er\'es par le signe \$ dans les
rubriques
de travaux pratiques.
}

\medskip
{\sl De nombreux outils du programme concourent \`a l'obtention de
repr\'esentations graphiques:

\quad-- les m\'ethodes de construction g\'eom\'etrique dans le plan et
l'emploi des
instruments de dessin;

\quad-- les m\'ethodes num\'eriques employant les ressources de l'alg\`ebre
de l'analyse et de la g\'eom\'etrie diff\'erentielle et des instruments de
calcul;

\quad-- les m\'ethodes de repr\'esentation des configurations de l'espace
par projection sur des plans de coordonn\'ees ou \`a l'aide de familles
de sections planes;

Les outils pr\'ec\'edents sont r\'epartis dans l'ensemble du programme. Les
th\`emes d'activit\'es graphiques sont rep\'er\'es par le signe * dans les
rubriques
de travaux pratiques.

Aucune connaissance n'est exigible sur les techniques de la g\'eom\'etrie
descriptive.}




\Titre{I. FONCTIONS D'UNE VARIABLE R\'EELLE}

{\sl Les fonctions \'etudi\'ees dans ce chapitre sont d\'efinies sur un
intervalle de \R\ et \`a valeurs dans \R, \C, ou $\R^m$.}

\so
\titre{1- Normes dans $\R^m$}

\so

\tx{Norme et distance dans $\R^m$. D\'efinitions des boules, des parties
ouvertes, des parties ferm\'ees, des parties born\'ees.

Limite d'une suite d'\'el\'ements \`a valeurs dans $\R^m$;
caract\'erisation \`a
l'aide des suites coordonn\'ees. Toute suite convergente est born\'ee.
Op\'erations
alg\'ebriques.}{On admettra que toutes les normes sont \'equivalentes. Dans
la pratique, on utilisera les normes \<<sup\>> $\dis\left(\|x\|_{\infty}=
\max_{1\leq i\leq m}|x_i|\right)$ et euclidienne $\dis\left(\|x\|_2=
\sqrt{\sum_{1\leq i\leq m}|x_i|^2}\right)$.}

\vfill\eject
\titre{2- D\'erivation des fonctions \`a valeurs vectorielles}

\tit{a) D\'eriv\'ee en un point, fonction d\'eriv\'ee}
\so
\tx{D\'erivabilit\'e en un point: d\'eriv\'ee, d\'eriv\'ee \`a gauche,
d\'eriv\'ee \`a droite.

D\'erivabilit\'e sur un intervalle, fonction d\'eriv\'ee.}
{Les \'etudiants doivent conna\^itre et savoir exploiter l'interpr\'etation
cin\'ematique et graphique de la notion de d\'eriv\'ee en un point.}
\so
\tx{D\'efinition des applications de classe ${\cal C}^k$ sur un intervalle
$I$
($k$ entier naturel ou $k=\infty$).
Espace vectoriel ${\cal C}^k(I,\R^m)$ des applications de classe
${\cal C}^k$ de $I$ dans $\R^m$.

D\'eriv\'ee d'une somme de deux fonctions vectorielles, du produit d'une
fonction \`a valeurs r\'eelles et d'une fonction \`a valeurs
vectorielles.}{}

\so
\tx{Pour $m=2$ ou $m=3$, et $\R^m$ euclidien (\'eventuellement orient\'e),
d\'eriv\'ees successives d'un produit scalaire, d'un produit vectoriel.}
{Les \'etudiants doivent conna\^itre la formule de Leibniz, pour les
fonctions du type:
$$t\mapsto\lambda(t)V(t),$$
$$t\mapsto U(t)\cdot V(t),\ {\rm et\ }t\mapsto U(t)\wedge V(t),$$
o\`u $\lambda\in{\cal C}^k(I,\R),\ U,V\in{\cal C}^k(I,\R^m)$.}

\so

\tit{b) Fonctions de classe ${\cal C}^1$ par morceaux}

\tx{D\'efinition des fonctions de classe ${\cal C}^1$ par morceaux: une
fonction $f$ d\'efinie sur le segment $[a,b]$ est  dite de classe ${\cal
C}^1$
par morceaux sur le segment $[a,b]$ s'il
existe une suite finie strictement croissante
$a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ telle que la restriction de $f$ \`a chacun des
intervalles $]a_i,a_{i+1}[$ est prolongeable en une fonction de classe
${\cal C}^1$ sur $[a_i,a_{i+1}]$.

\so
Op\'erations sur les fonctions
de classe ${\cal C}^1$ par morceaux d\'efinies sur le
segment $[a, b]$.}
{Par extension, une fonction $f$ d\'efinie sur \R\ et $T-$p\'eriodique est
dite de classe ${\cal C}^1$ par morceaux si sa restriction \`a un
intervalle de
la forme $[a,a+T]$ est de classe ${\cal C}^1$ par morceaux.}

\so
\tit{c) Formule de Taylor-Young}

\tx{D\'eveloppement limit\'e d'ordre $p$ en un point. Op\'erations sur les
d\'eveloppements limit\'es.

Existence d'un d\'eveloppement limit\'e d'ordre $p$ pour une fonction
de classe ${\cal C}^p$: formule de Taylor-Young.}{}


\bigskip


\titre{3- Int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre}

\centerline{{\sl Toutes les d\'emonstrations des r\'esultats de ce
paragraphe sont
hors programme.}}

\so
\tit{a) Continuit\'e}

\tx{Continuit\'e sous le signe $\int$: soit $f$ une fonction \`a valeurs
r\'eelles ou complexes continue sur $A\times[a,b]$, o\`u $A$ est un
intervalle
de $\R$. Alors la fonction $g$ d\'efinie sur $A$ par la relation
$\dis g(x)=\int_a^bf(x,t)\,dt$ est continue sur $A$.
}{}

\so
\tit{b) D\'erivation}

\tx{D\'erivation sous le signe $\int$ (formule de Leibniz): lorsque $f$ est
continue sur $A\times[a,b]$ et admet une d\'eriv\'ee partielle
$\dis{\partial
f\over\partial x}$ continue sur $A\times[a,b]$, alors $g$ est de classe
${\cal C}^1$ sur $A$, et $$g'(x)=\int_a^b{\partial f\over\partial
x}\,(x,t)\,\hbox{\rm d}t.$$
}
{Extension aux fonctions de classe ${\cal C}^k$.}

\so
\tit{c) Int\'egration}

\tx{Int\'egration sous le signe $\int$ (formule de Fubini): lorsque $f$ est
continue sur $A\times[a,b]$, alors pour tout segment $[c,d]$ inclus dans
$A$
$$\int_c^d\Big[\int_a^bf(x,t)\,dt\Big]\,dx=\int_a^b\Big[\int_c^df(x,t)\,
dx\Big]\,dt.$$
}
{La formule de Fubini est \`a relier \`a la notion d'int\'egrale double
abord\'ee
en classe de premi\`ere ann\'ee.}
\so

\titre{4- Int\'egrales impropres}

{\sl Pour ce qui concerne les int\'egrales impropres (ou
g\'en\'eralis\'ees),
l'objectif du programme est la ma\^itrise de la convergence absolue
de l'int\'egrale d'une fonction continue \`a valeurs r\'eelles ou complexes
sur un intervalle non ferm\'e ou non born\'e. Le programme part de la
d\'efinition g\'en\'erale de la convergence, en raison de la simplicit\'e
de la pr\'esentation, mais l'\'etude de la semi-convergence des
int\'egrales
n'est pas un objectif du programme.}


\so
\tit{a) D\'efinition d'une int\'egrale convergente}

\tx{Si $f$ est une application continue sur $[a,b[$ l'int\'egrale
$\dis\int_a^b f(t)\,dt$ est convergente, par d\'efinition, si
$\dis\int_a^x f(t)\,dt$
a une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$, en restant dans $[a,b[$.
}
{On aura soin de distinguer, dans la pr\'esentation, le cas o\`u $f$ est
une fonction continue non born\'ee sur un intervalle $[a,b[$ born\'e, et
le cas o\`u l'intervalle est non born\'e (du type $[a,+\infty[$ par
exemple). }


\tx{D\'efinition des int\'egrales divergentes.}{}

\so
\tx{
Nature des int\'egrales:
$$\int_1^{+\infty}{dt\over t^{\alpha}}\quad {\rm et}\
\int_0^1{dt\over t^{\alpha}},\ {\rm o\grave u}\ \alpha\in\R$$
$$\int_0^1\ln t\,dt,\quad {\rm et}\ \int_0^{+\infty}
\e^{-\alpha t}\,dt,\  {\rm o\grave u}\ \alpha\in\R_+^*$$
}{}

\so
\tit{b) Int\'egrales des fonctions positives}

\tx{Relations entre la convergence ou la divergence des int\'egrales de
$f$ et de $g$, dans le cas o\`u $f\leq g$, et dans le cas o\`u $f\sim g.$}
{}

\so
\tit{c) Int\'egrales absolument convergentes}

\tx{D\'efinition d'une int\'egrale absolument convergente.}{}

\so
\tx{Comparaison en module \`a des fonctions r\'eelles positives, du type:
$|f|\leq g,\ {\rm ou}\ |f|\sim g.$}{}

\so
\tit{d) Int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre}

{\sl L'objectif est d'\'etendre les th\'eor\`emes de continuit\'e et de
d\'erivation
sous le signe $\int$, d\'ej\`a \'etudi\'es sur un segment, au cas d'un
intervalle
$I$ quelconque dont l'origine et l'extr\'emit\'e (prises dans
$\overline{\R}$)
sont not\'ees $a$ et $b$. Les d\'emonstrations de ces th\'eor\`emes sont
hors
programme.}
\so

\tx{Continuit\'e sous le signe $\int$: soit $f$ une fonction \`a valeurs
r\'eelles ou complexes continue sur $A\times I$, o\`u $A$ est un intervalle
de
$\R$ telle que, pour tout \'el\'ement $x$ de $A$, la fonction $t\mapsto
f(x,t)$
ait une int\'egrale absolument convergente sur $I$, et $\varphi$ une
fonction
continue positive dont l'int\'egrale sur $I$ est convergente. Alors si pour
tout \'el\'ement $(x,t)$ de $A\times I$
$|f(x,t)|\leq\varphi(t)$ (hypoth\`ese de domination), la fonction $g$
d\'efinie
sur $A$ par la relation $\dis g(x)=\int_a^bf(x,t)\,dt$ est continue
sur $A$.
}
{}
\so

\tx{D\'erivation sous le signe $\int$ (formule de Leibniz): soit $A$ un
intervalle de \R\ et $f$ une fonction v\'erifiant les hypoth\`eses du
th\'eor\`eme
pr\'ec\'edent et admettant une d\'eriv\'ee partielle $\dis{\partial
f\over\partial
x}$ v\'erifiant elle aussi ces m\^emes hypoth\`eses. Alors $g$ est de
classe
${\cal C}^1$ sur $A$, et $$g'(x)=\int_a^b{\partial f\over\partial
x}\,(x,t)\,\hbox{\rm d}t.$$
}
{Extension aux fonctions de classe ${\cal C}^k$.}
\so



\tp

Exemples d'\'etude de la convergence absolue d'int\'egrales impropres
de fonctions continues.

\so
\$ Exemples de calculs de valeurs exactes ou approch\'ees
d'int\'egrales et d'int\'egrales impropres.

\so
Exemples d'\'etudes de fonctions d\'efinies par une int\'egrale.

\bigskip
\Titre{II. S\'ERIES}


\titre{1- S\'eries de nombres r\'eels ou complexes}

{\sl Comme pour les int\'egrales impropres, l'objectif est ici
l'\'etude de la convergence absolue des s\'eries \`a termes r\'eels
ou complexes. L'\'etude de la semi-convergence est limit\'ee aux
s\'eries r\'eelles altern\'ees par utilisation de la r\`egle sp\'eciale.}

\tit{a) Convergence}

\tx{S\'eries convergentes, s\'eries divergentes. Convergence des s\'eries
g\'eom\'etriques.}{}


\so
\tit{b) S\'eries \`a termes r\'eels positifs}

\tx{Comparaison \`a une int\'egrale impropre.

Convergence des s\'eries de Riemann.}{}

\so
\tx{Comparaison des convergences de $\sum u_n$ et $\sum v_n$ dans
le cas o\`u $u_n \leq v_n$ et dans le cas o\`u $u_n \sim v_n$.}{}

\so
\tx{Application au cas o\`u l'une des deux s\'eries est une s\'erie de
Riemann.}
{La r\`egle \<<$n^\alpha u_n$\>> est hors programme.}

\so
\tx{Comparaison \`a une s\'erie g\'eom\'etrique; r\`egle de d'Alembert.}
{Toute autre r\`egle de convergence, en particulier la r\`egle dite
de Cauchy (utilisant $\root {\scriptstyle n\,}\of{u_n}\,$) est hors
programme.}


\so
\tit{c) Convergence absolue}

\tx{S\'eries absolument convergentes.}{}

\so
\tx{Toute s\'erie absolument convergente
est convergente.}
{La d\'emonstration de ce r\'esultat n'est pas exigible.}


\tit{d) S\'eries altern\'ees}

\tx{Convergence d'une s\'erie altern\'ee dont la valeur
absolue du terme g\'en\'eral d\'ecro\^it et tend vers z\'ero; encadrement
de la somme et du reste.}
{On peut encadrer la somme d'une telle s\'erie par deux sommes
partielles cons\'ecutives. Pour le reste de la s\'erie, son premier
terme donne le signe et un majorant en valeur absolue.}

\so
\tit{e) Op\'erations}

\tx{Somme de deux s\'eries, produit d'une s\'erie par un scalaire.}
{La notion de s\'erie produit est hors programme.}

\bigskip
\titre{2- S\'eries enti\`eres}

{\sl Les s\'eries enti\`eres consid\'er\'ees dans ce paragraphe
sont \`a coefficients r\'eels ou complexes.}

\so
\tit{a) Convergence d'une s\'erie enti\`ere}

\tx{D\'efinition des s\'eries enti\`eres d'une variable complexe.}{}

\tx{\'Etude de la convergence: rayon de convergence,
disque (ouvert) de convergence.}
{Dans le cas o\`u le rayon de convergence est un nombre r\'eel $R>0$,
toute \'etude syst\'ematique de la convergence sur le cercle $C(0,R)$
est exclue.}

\so
\tit{b) Somme d'une s\'erie enti\`ere d'une variable r\'eelle}

\tx{Intervalle de convergence.

Propri\'et\'es (admises) de la fonction somme d'une s\'erie enti\`ere sur
l'intervalle (ouvert) de convergence: continuit\'e, d\'erivation et
int\'egration terme \`a terme (avec conservation du rayon de
convergence).}{ On admettra que si le rayon
de convergence  est un nombre r\'eel $R>0$, et si de plus
la s\'erie $\dis \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge
pour $x=R$ (resp. pour $x=-R$), la somme est continue sur
$[0, R]$ (resp. $[-R, 0]$).
}

\so
\tx{D\'eveloppement en s\'erie enti\`ere autour de 0 de}{}
\tx{
$\dis{1\over 1+x},\ \ln(1+x),\ \e^x,\ \cos x,\ \sin x,\ \ch x,\
\sh x\
{\rm et}\ (1+x)^{\alpha},$

o\`u $\alpha$ est r\'eel.}{Seuls ces exemples sont \`a conna\^itre.}

\so
\tit{c) Exponentielle complexe}

\tx{Expression (admise), pour $z$ complexe, de $\exp z$ (ou $\e^z$)
comme somme de la s\'erie enti\`ere $\dis\sum_{n=0}^\infty {z^n
\over n!}\cdot$}
{Rappel: en premi\`ere ann\'ee, on a d\'efini
$$\e^{x+\ii y}=\e^x(\cos y+\ii\sin y).$$}



\titre{3- S\'eries de Fourier}

{\sl Les s\'eries de Fourier sont pr\'esent\'ees dans le cadre des
fonctions num\'eriques $T-$p\'eriodiques continues par morceaux
($T$ est un nombre r\'eel strictement positif, et on pose
$\dis\omega={2\pi\over T}$). L'interpr\'etation g\'eom\'etrique des
s\'eries de
Fourier sera donn\'ee dans le cadre de l'espace vectoriel ${\cal C}_T(\R)$
des fonctions continues de \R\ dans \R\ et $T-$p\'eriodiques.}

\tit{a) D\'efinitions}

\tx{Coefficients de Fourier d'une fonction $T-$p\'eriodique $f$ d\'efinie
de \R\ dans \R\ et continue par morceaux
(expression en cosinus et sinus,
en posant $\dis\omega={2\pi\over T}$), sommes partielles
$$S_n(f)(t) =a_0(f)+\sum_{k=1}^n\big( a_k(f) \cos(k\omega t)
+b_k(f) \sin(k\omega t)\big)$$
de la s\'erie de Fourier d'une telle fonction.}
{Dans certains cas, on peut simplifier les calculs en d\'efinissant pour
$n\in\N, n>0$:
$$c_n(f)={1\over2}\bigl(a_n(f)-\ii b_n(f)\bigr)$$
$$c_{-n}(f)={1\over2}\bigl(a_n(f)+\ii b_n(f)\bigr),$$

$${\rm et\ }c_0(f)=a_0(f),$$
mais aucune formule relative \`a la forme exponentielle des
coefficients de Fourier n'est exigible.}

\so
\tx{Dans l'espace vectoriel ${\cal C}_T(\R)$ des applications
$T-$p\'eriodiques continues de \R\ dans \R, produit scalaire
$$\dis (f,g)\mapsto
{1\over T}\int_0^Tf(t)g(t)\,dt,$$
norme associ\'ee.

Dans cet espace, les fonctions $t\mapsto
\cos(n\omega t)$ pour $n$ d\'ecrivant \N, et $t\mapsto
\sin(n\omega t)$ pour $n$ d\'ecrivant $\N^*$ forment une famille
orthogonale.}{Dans ce cadre, on donnera l'interpr\'etation de
$S_n(f)$ comme projection orthogonale de $f$.}


\so
\tit{b) Formule de Parseval}

\tx{Th\'eor\`eme de Parseval (admis): convergence et expression
$${1\over T}\,\int_0^T|f(t)|^2\,dt=|a_0(f)|^2 + {1\over 2}
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2.$$}
{On donnera l'interpr\'etation g\'eom\'etrique du th\'eor\`eme de Parseval
dans l'espace  ${\cal C}_T(\R)$.}

\so
\tit{c) Convergence d'une s\'erie de Fourier}

\tx{Th\'eor\`eme de Dirichlet (admis): pour une fonction
$T-${p\'e}\-riodique $f$ d\'efinie sur \R\ et de classe ${\cal C}^1$ par
morceaux, lorsque $n$ tend vers l'infini, les sommes de Fourier
$S_n(f)(t)$ convergent en tout $t$ r\'eel, vers $\dis{f(t+0)+f(t-0)\over
2}$,
demi-somme des limites \`a droite et \`a gauche de $f$ au point $t$.}{}

\so
\tx{Si $f$ est continue et de classe ${\cal C}^1$ par morceaux, lorsque $n$
tend vers
l'infini, les sommes de Fourier $S_n(f)(t)$ convergent en tout $t$ r\'eel,
vers
$f(t)$. De plus, les s\'eries $\sum |a_n(f)|$ et $\sum |b_n(f)|$ sont
convergentes.}  {Dans ces hypoth\`eses, on admet que pour tous $\alpha$ et
$\beta$
r\'eels, $\dis\int_{\alpha}^{\beta}f(t)\,dt$ s'obtient en int\'egrant terme
\`a terme
la  s\'erie de Fourier de $f$.}


\so


\so
\tp

Pour une s\'erie \`a termes r\'eels positifs, exemples d'encadrements du
reste
d'une s\'erie convergente, des sommes partielles d'une s\'erie divergente.

\so
\$ Exemples de recherche de valeurs approch\'ees de la somme d'une s\'erie
convergente.

\so
Exemples d'\'etude de suites par utilisation de s\'eries.

\so
Exemples d'\'etude de fonctions d\'efinies par une s\'erie enti\`ere.

\so
Exemples de recherche de d\'eveloppements en s\'erie enti\`ere ou en
s\'erie de
Fourier de fonctions d'une variable r\'eelle.

\so
\$ Exemples d'utilisation de d\'eveloppements en s\'erie enti\`ere pour
obtenir
des valeurs approch\'ees d'une fonction.

\so
Exemples d'emploi de s\'eries enti\`eres pour la recherche de solutions
d'\'equations diff\'erentielles.


\medskip
\Titre{III. \'EQUATIONS DIFF\'ERENTIELLES}

\titre{1- Syst\`emes lin\'eaires d'ordre 1 \`a coefficients constants}

\tx{\'Etude du syst\`eme $X' = AX+B(t)$, o\`u $A$ est une matrice
de taille $n$ et $B$ une application continue d'un intervalle
$I$ de \R\ dans $\R^n$.

Existence et unicit\'e de la solution
satisfaisant \`a une condition initiale donn\'ee (th\'eor\`eme admis).

Syst\`eme homog\`ene associ\'e; structure de l'ensemble des solutions
(th\'eor\`eme admis).}
{On explicitera l'existence et l'unicit\'e de la solution
satisfaisant \`a une condition initiale donn\'ee, ainsi que la structure
de l'ensemble des solutions dans le cas d'un syst\`eme homog\`ene dont la
matrice est diagonale ou triangulaire.}

\titre{2- \'Equations lin\'eaires d'ordre 2}

\tx{Existence et unicit\'e de la solution satisfaisant \`a une
condition initiale donn\'ee (th\'eor\`eme admis). Dimension
de l'espace vectoriel des solutions de l'\'equation homog\`ene associ\'ee
(r\'esultat admis).

Expression des solutions dans le cas o\`u l'on conna\^it une solution de
l'\'equation homog\`ene associ\'ee ne s'annulant pas.}
{On consid\`ere les \'equations diff\'erentielles de
la forme
$$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),$$
les fonctions $a$, $b$, $c$, $f$ \'etant continues sur un
intervalle $I$ de \R, sur lequel $a$ ne s'annule pas.}

\bigskip
\titre{3- \'Equations non lin\'eaires d'ordre 1}

{\sl En dehors du cas des \'equations \`a variables s\'eparables, tout
exercice
d'int\'egration d'une \'equation diff\'erentielle non lin\'eaire devra
comporter
l'indication d'une m\'ethode.}

\so
\tx{\'Equations diff\'erentielles \`a variables s\'eparables; cas
particulier
des \'equations incompl\`etes.}{On illustrera la notion de courbe
int\'egrale.}

\so
\tx{D\'efinition d'un syst\`eme autonome de deux \'equations
diff\'e\-rentielles du premier ordre:
$$\left\{\vcenter{\halign{$\dis #$   &$\,#\,$&$#$\hfill\cr
{dx\over dt}&=&\varphi(x,y)\cr
\noalign{\vskip2mm}
{dy\over dt}&=&\psi(x,y)\cr}}\right.$$

\so
et de ses trajectoires, dans le cas o\`u $\varphi$ et $\psi$ sont de
classe ${\cal C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $\R^2$.

}{\vskip10mm
Tout th\'eor\`eme d'existence et unicit\'e des trajectoires d'un syst\`eme
autonome est hors programme.}



\tp

R\'esolution de syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
constants
de la forme $X'=AX+B(t)$, par diagonalisation ou trigonalisation
de $A$, ou par r\'eduction de la taille du syst\`eme.

\so
\$ Algorithme de recherche de solutions approch\'ees d'une \'equation
diff\'erentielle scalaire d'ordre 1 ou d'un syst\`eme autonome de deux
\'equations
d'ordre 1 par la m\'ethode d'Euler.

\so
Exemples d'utilisation de changements de variable ou de fonction.

\so
Exemples de transformation d'une \'equation diff\'erentielle du premier
ordre en un syst\`eme autonome de deux \'equations.

\so
\$ * Exemples de construction de courbes int\'egrales d'une \'equation
diff\'erentielle, de trajectoires d'un syst\`eme autonome de deux
\'equations
diff\'erentielles d'ordre 1. On se limitera \`a des exemples simples
principalement issus de la physique ou des sciences industrielles.

\so
Exemples simples d'utilisation d'une int\'egrale premi\`ere.

\so
Exemples d'\'etude de probl\`emes issus de la m\'ecanique ou de la physique
conduisant \`a une \'equation diff\'erentielle du premier ou du second
ordre.

\bigskip

\so
\Titre{IV. FONCTIONS DE $\hbox{{\BB R}}^{\textstyle p}$
DANS $\hbox{{\BB R}}^{\textstyle n}$}

{\sl Les applications consid\'er\'ees dans ce chapitre sont d\'efinies sur
une partie de $\R^p$ et \`a valeurs dans $\R^n$. On se limitera
aux cas o\`u $n\leq 3$ et $p\leq 3$. On ne soul\`evera aucune difficult\'e
li\'ee
aux ensembles de d\'efinition des fonctions consid\'er\'ees.}


\so


\titre{1- Continuit\'e}

{\sl Aucune difficult\'e th\'eorique ne peut \^etre soulev\'ee sur les
notions \'etudi\'ees dans ce paragraphe et tous les r\'esultats sont
admis.}

\so

\tx{Espace vectoriel des fonctions d\'efinies sur une partie de $\R^p$
et \`a valeurs dans $\R^n$. Fonctions born\'ees.}{}

\so
\tx{Continuit\'e d'une application en un point. Op\'erations {alg\'e}\-
bri\-ques
sur les applications continues. Continuit\'e d'une application compos\'ee.

L'image d'une partie ferm\'ee born\'ee par une fonction continue
est ferm\'ee et born\'ee
(r\'esultat admis).}{}

\vfill\eject
\titre{2- Calcul diff\'erentiel}

{\sl L'objectif est d'aboutir \`a une bonne ma\^itrise de quelques
probl\`emes usuels \`a partir d'un minimum d'outils th\'eoriques. En
particulier
la notion d'application diff\'erentiable est hors programme et, comme
en premi\`ere ann\'ee, les applications de classe ${\cal C}^1$ seront
d\'efinies \`a partir des d\'eriv\'ees partielles.

Les fonctions consid\'er\'ees dans ce paragraphe sont d\'efinies sur un
ouvert
de $\R^p$ et \`a valeurs dans $\R^n$.}

\so
\tit{a) Diff\'erentielle et matrice jacobienne}
\tx{Applications de classe ${\cal C}^1$, diff\'erentielle en un point,
matrice
jacobienne, jacobien. Lien avec le gradient.

Matrice jacobienne d'une application compos\'ee
ou d'une application r\'eciproque (les applications consid\'er\'ees \'etant
de
classe ${\cal C}^1$).

Applications aux changements de variables.}
{On utilisera la notation diff\'erentielle:
$$df={\partial f\over\partial x}\,dx+
{\partial f\over\partial y}\,dy$$
\centerline{(pour deux variables par exemple)}

tr\`es commode pour le calcul de la
diff\'erentielle d'une fonction compos\'ee.}

\so
\tit{b) Formule de Taylor-Young}
\tx{Pour une fonction num\'erique de classe ${\cal C}^2$ sur un ouvert de
$\R^2$: formule de Taylor-Young \`a l'ordre 2 (admise); application \`a
l'\'etude des extr\'emums locaux.}{}

\so
\titre{3- Calcul int\'egral}

{\sl Les notions introduites dans ce paragraphe sont \'etudi\'ees en
vue de leur utilisation en sciences physiques ou en sciences
industrielles. Tout d\'eveloppement th\'eorique est exclu. Tous les
r\'esultats sont admis.}

\so
\tit{a) Int\'egrales doubles et triples, applications}

\tx{Changement de variables dans les int\'egrales doubles et triples.

\so
Int\'egrale sur un arc, circulation.}{}

\so
\tx{Aire d'un morceau de surface. Int\'egrale de surface, flux, angle
solide.}{}

\so
\tx{Int\'egrale triple; volumes.}{}

\so
\tx{\'El\'ements d'inertie d'un solide.}{}

\so
\tit{b) Analyse vectorielle}

\tx{Gradient, divergence, rotationnel.

Potentiel scalaire; formule de Green-Riemann, formule de Stokes.
Potentiel vecteur; formule d'Ostrogradski.}{}

\so
\tp

Exemples de calcul de d\'eriv\'ees partielles.

\so
Exemples de recherche d'extr\'emums locaux ou globaux.

\so
Exemples d'applications du calcul int\'egral \`a des probl\`emes issus de
la physique ou des sciences industrielles.

\so
Exemples d'applications de l'analyse vectorielle.

\vfill\eject
\Titre{V. G\'EOM\'ETRIE DIFF\'ERENTIELLE}

{\sl Comme en premi\`ere ann\'ee, l'\'etude th\'eorique est plac\'ee dans
des hypoth\`eses
tr\`es larges. Aucune difficult\'e th\'eorique ne peut \^etre soulev\'ee
sur les notions
\'etudi\'ees dans ce chapitre.}


\titre{1- Courbes planes}

\tit{a) Enveloppes}

\tx{Enveloppe d'une famille de droites d\'efinies par une relation
$a (t) x+b(t) y+c(t) = 0$, o\`u $a$, $b$ et $c$ sont d\'efinies et de
classe
${\cal C}^1$ sur un intervalle $I$, sur lequel le d\'eterminant
$$t\mapsto \left|\matrix{a(t)&b(t)\cr a'(t)&b'(t)\cr}\right|$$
ne s'annule pas.}{}

\so

\tit{b) D\'evelopp\'ee, d\'eveloppantes}
\tx{D\'evelopp\'ee et d\'eveloppantes d'une courbe param\'etr\'ee plane.}{}

\titre{2- Courbes de l'espace}

\tx{Tangente et plan normal en un point r\'egulier, plan osculateur
en un point bir\'egulier.

Propri\'et\'es m\'etriques:
longueur d'un arc, abscisse curviligne; rep\`ere de Frenet, courbure,
torsion en un point trir\'egulier.}
{Par convention, si le rep\`ere de Frenet est not\'e
$\Bigl(\vect{T},\vect{N},
\vect{B}\Bigr)$, la courbure $\gamma$ et la torsion $\tau$ sont donn\'ees
par:
$$\gamma=\vect{N}\cdot{d\vect{T}\over ds},\quad
\tau=-\vect{N}\cdot{d\vect{B}\over ds}$$}


\so
\tx{D\'efinition d'une h\'elice par angle constant entre la
tangente unitaire orient\'ee et un vecteur unitaire fixe.}
{Toute autre propri\'et\'e de l'h\'elice est hors programme.}

\so
\titre{3- Courbes et surfaces}

{\sl Dans ce paragraphe, les courbes du plan et de l'espace et les
surfaces sont d\'efinies par param\'etrages et par \'equations
cart\'esiennes.
Aucune difficult\'e ne peut \^etre soulev\'ee sur l'\'equivalence de ces
d\'efinitions.

Toutes les formes utiles (pour traiter ce paragraphe)
du th\'eor\`eme des fonctions implicites sont admises.}

\so
\tit{a) Plan tangent}

\tx{En un point r\'egulier d'une surface, plan tangent, normale. Tangente
\`a l'intersection de deux surfaces en un point o\`u les plans tangents
sont
distincts.}{}

\so
\tit{b) Intersection de deux surfaces}

\tx{Projection sur un plan de coordonn\'ees d'une courbe d\'efinie comme
intersection de deux surfaces.}{}

\so
\titre{4- Surfaces usuelles}

\tx{Description des cylindres (g\'en\'eratrices, sections droites), des
c\^ones
(sommet, g\'en\'eratrices), des surfaces de r\'evolution (axe,
m\'eridienne,
parall\`eles). Plans tangents aux surfaces pr\'ec\'edentes. Description des
quadriques \`a partir de leurs \'equations r\'eduites en rep\`ere
orthonormal
(ellipso\"ide, hyperbolo\"ide \`a une nappe, hyperbolo\"ide \`a deux
nappes,
parabolo\"ide elliptique, parabolo\"ide hyperbolique).}{}

\so
\tx{D\'efinition d'une surface r\'egl\'ee, plan tangent en un point
r\'egulier. Exemples de surfaces d\'eveloppables (m\^eme plan tangent
en tous les points r\'eguliers d'une g\'en\'eratrice): cylindre, c\^one,
surface engendr\'ee par les tangentes \`a une courbe gauche.}
{Aucune autre connaissance sur les surfaces r\'egl\'ees et les surfaces
d\'eveloppables n'est exigible des \'etudiants.}

\so
\tp

Emploi des coordonn\'ees polaires, cylindriques et sph\'eriques.

\so
\$ * Exemples de recherche d'enveloppes de droites dans le plan.

\so
\$ * Exemples de repr\'esentation de courbes gauches par projection sur
des plans de coordonn\'ees.

\so
* Exemples de recherche de courbes planes ou de courbes d'une surface
satisfaisant \`a une condition diff\'erentielle (trajectoires orthogonales,
lignes
de plus grande pente, contours apparents cylindriques et coniques,
h\'elices).

\so
Exemples de g\'en\'eration de surfaces, de recherche de param\'etrages ou
de mise
en \'equation dans un rep\`ere ad\'equat (surfaces de r\'evolution,
surfaces r\'egl\'ees).

\so
* Exemples d'\'etude de familles de sections planes d'une surface.

\so
\$ * Exemples de repr\'esentation d'une surface \`a l'aide de familles
de courbes trac\'ees sur la surface.

\so
Exemples de recherche de l'intersection de deux surfaces et de la
projection
de cette intersection sur un plan de coordonn\'ees.
Les crit\`eres de d\'ecomposition d'une telle intersection sont en dehors
du
programme.

\so
Exemples de surfaces r\'egl\'ees.

\so
Exemples d'h\'elices.

\bigskip


\TITRE{ALG\`EBRE LIN\'EAIRE ET G\'EOM\'ETRIE}


{\sl Le programme d'alg\`ebre lin\'eaire se propose de donner l'outil
essentiel de la r\'eduction des endomorphismes. C'est l'occasion
d'utiliser les outils et les techniques construits en premi\`ere
ann\'ee (calcul matriciel, r\'esolution des syst\`emes lin\'eaires).
Les d\'eterminants sont introduits en dimension $n$ pour servir d'outil
dans les probl\`emes de r\'eduction des endomorphismes, et le calcul des
d\'eterminants n'est pas une fin en soi. On \'evitera particuli\`erement
sur
ce point tout exc\`es de technicit\'e.}

\so
\Titre{I. R\'EDUCTION DES ENDOMORPHISMES
ET DES MATRICES CARR\'EES}

{\sl Dans ce chapitre, le corps des scalaires, not\'e \K\ est \R\ ou \C.}

\so
\titre{1- Espaces vectoriels}

\tx{D\'efinition d'une famille libre, d'une famille g\'en\'eratrice en
dimension quelconque.}{La notion de somme directe n'est au programme
que dans le cas de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
de dimension finie.}

\tx{\'Equation lin\'eaire $f(x)=b$, avec $f$ application lin\'eaire de $E$
vers $F$ de dimensions quelconques.

Cas de l'\'equation homog\`ene.

Structure des solutions, condition de compatibilit\'e,
lien avec $\ker f$ et $\im f$. \'Etude du cas o\`u $b=b_1+b_2$.}
{Pour l'\'equation homog\`ene, l'ensemble des solutions est l'espace
vectoriel $\ker f$.

Dans le cas g\'en\'eral, il est vide si $b\notin \im f$,
et de la forme $x_0+\ker f=\{x_0+x\mid x\in\ker f\}$
si $b\in\im f$.}


\so
\titre{2- Valeurs propres et vecteurs propres}


\tx{Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres,
vecteurs propres.

Toute famille finie de vecteurs propres associ\'es \`a des valeurs propres
distinctes est libre.}{On convient qu'un vecteur propre est non nul.

\'El\'ements propres d'une homoth\'etie, d'une projection, d'une
sym\'etrie.}


\titre{3- D\'eterminants}

\tit{a) D\'eterminant de $n$ vecteurs dans une base.}

\tx{D\'efinition d'une forme $n-$lin\'eaire altern\'ee sur un espace de
dimension $n$.
D\'eterminant de $n$ vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de
dimension $n$.
Caract\'erisation des bases.}{La d\'emonstration de l'existence du
d\'eterminant n'est pas exigible des \'etudiants.}

\so
\tx{\'Echange de deux vecteurs.}{}

\so
\tit{b) D\'eterminant d'un endomorphisme}

\tx{D\'eterminant d'un endomorphisme, du compos\'e de deux endomorphismes;
caract\'erisation des automorphismes.}{}

\so
\tit{c) D\'eterminant d'une matrice carr\'ee}

\tx{D\'eterminant d'une matrice carr\'ee. D\'eterminant du produit de deux
matrices, de la transpos\'ee d'une matrice. D\'eveloppement par rapport \`a
une ligne
ou \`a une colonne.

Matrices carr\'ees semblables, d\'efinition, interpr\'etation en terme
de changement de base. Deux matrices carr\'ees semblables ont le m\^eme
d\'eterminant.}
{Le groupe sym\'etrique n'\'etant pas au programme, l'expression du
d\'eterminant
d'une matrice en fonction de ses coefficients n'est pas non plus au
programme. Le d\'eterminant d'une matrice carr\'ee est par d\'efinition le
d\'eterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de $\K^n$.}

\so
\tx{D\'eterminant d'une matrice de la forme $\dis\pmatrix{A&B\cr0&D\cr}$.}
{Ce r\'esultat peut \^etre admis.}




\so

\titre{4- R\'eduction d'un endomorphisme en dimension finie}

\tx{Polyn\^ome caract\'eristique, ordre de multiplicit\'e d'une valeur
propre:
il est minor\'e par la dimension du sous-espace propre associ\'e.}
{}

\so
\tx{Endomorphismes diagonalisables (par d\'efinition $u\in{\cal L}(E)$ est
diagonalisable s'il existe une base de $E$ form\'ee de vecteurs propres
de $u$).

Caract\'erisation (admise) \`a l'aide des dimensions des sous-espaces
propres.

En dimension $n$, tout endomorphisme dont le polyn\^ome caract\'eristique
a $n$ racines (distinctes) est diagonalisable.}
{Quand l'endomorphisme est diagonalisable, on obtient une base
de diagonalisation par r\'eunion de bases de chacun des sous-espaces
propres.}

\so
\tx{Trigonalisation d'un endomorphisme $u$ dont le
polyn\^ome caract\'eristique peut s'\'ecrire comme produit de polyn\^omes
de degr\'e
un: il existe une base telle que la matrice
associ\'ee \`a $u$ dans cette base soit triangulaire sup\'erieure
(th\'eor\`eme admis).
Les \'etudiants n'ont pas \`a conna\^itre de m\'ethode pour trouver une
telle base.}
{Mis \`a part les cas \'el\'ementaires (endomorphisme d'un espace de
dimension
3 ayant deux valeurs propres distinctes par exemple), tout exercice de
trigonalisation doit comporter une indication.}



\so
\titre{5- R\'eduction des matrices carr\'ees}

\tx{Valeurs propres d'une matrice carr\'ee, polyn\^ome caract\'eristique,
vecteurs
propres, sous-espaces propres.}{}

\so
\tx{Diagonalisation et trigonalisation des matrices carr\'ees:
toute matrice carr\'ee dont le polyn\^ome caract\'eristique peut
s'\'ecrire comme produit de polyn\^omes de degr\'e un est
semblable \`a une matrice triangulaire sup\'erieure (admis).}
{Les \'etudiants n'ont pas \`a conna\^itre de m\'ethode g\'en\'erale de
trigonalisation.}


\vfill\eject
\tp

Exemples de r\'esolutions d'\'equations lin\'eaires en dimension finie ou
non.

\so
Exemples de recherche des \'el\'ements propres d'un endomorphisme en
dimension quelconque, en particulier dans des espaces vectoriels de
fonctions.

\so
Exemples de diagonalisation de matrices carr\'ees, exemples simples de
r\'eduction \`a une forme triangulaire.

\so
\$ Exemples d'\'etudes du comportement des puissances $n$-i\`emes d'une
matrice.

\so
Exemples d'\'etudes de suites num\'eriques satisfaisant \`a une
relation de r\'ecurrence lin\'eaire \`a coefficients constants de la
forme $au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n=d$.

\so
\Titre{II. ESPACES VECTORIELS PR\'EHILBERTIENS ET EUCLIDIENS}

{\sl Dans ce chapitre, le corps des scalaires est \R.}

\titre{1- Espaces pr\'ehilbertiens r\'eels.}

{\sl Les espaces vectoriels consid\'er\'es dans ce paragraphe ne sont pas
n\'ecessairement de dimension finie. On se bornera aux points
\'el\'ementaires
qui suivent, en liaison avec le programme d'analyse.}

\so

\tx{Produit scalaire, in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, norme.

Th\'eor\`eme de Pythagore.}{}

\so
\tx{D\'efinition d'une famille orthonormale.

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie;
distance \`a un tel sous-espace.}
{Lorsque l'espace est de dimension finie, existence de bases orthonormales;
m\'ethode de Schmidt.}


\so

\titre{2- Espaces euclidiens (c'est-\`a-dire pr\'ehilbertiens r\'eels de
dimension
finie)}

\tit{a) Groupe orthogonal}

\tx{D\'efinitions d'un automorphisme orthogonal, du groupe orthogonal
${\cal O}(E)$. Matrices orthogonales, groupe ${\cal O}(n)$.}
{En liaison avec le programme de premi\`ere ann\'ee, on d\'ecrira le
groupe orthogonal en dimensions 2 et 3 (et seulement dans ces cas).}

\so
\tit{b) Endomorphismes sym\'etriques}
\tx{D\'efinition d'un endomorphisme sym\'etrique; matrice associ\'ee dans
une base orthonormale.}{}

\so
\tx{Th\'eor\`eme admis de r\'eduction d'un endomorphisme
sym\'e\-trique dans une base orthonormale.}
{Diagonalisation d'une matrice sym\'etrique au moyen d'une matrice
orthogonale.}

\so
\tit{c) Formes quadratiques}
\tx{D\'efinitions d'une forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $\R^n$, d'une
forme
quadratique sur $\R^n$ et de la forme polaire associ\'ee.}
{Sont hors programme toute notion g\'en\'erale sur les formes
bilin\'eaires,
et les notions de rang et de signature d'une forme
quadratique.}



\so
\tx{Matrice d'une forme bilin\'eaire sym\'etrique (resp. d'une forme
quadratique) dans une base orthonormale.}
{On reliera l'\'etude des formes quadratiques \`a celle
de la matrice de l'op\'erateur d'inertie d'un solide, qui figure au
programme de m\'ecanique.}

\so
\tx{R\'eduction d'une forme quadratique dans une base orthonormale.}
{La r\'eduction d'une forme quadratique dans une base non orthonormale
est hors programme.}

\so
\tp

Exemples de diagonalisation d'une matrice sym\'etrique dans une base
orthonormale.

\so
Recherche de l'\'equation r\'eduite et des axes d'une conique ou d'une
quadrique dont un centre de sym\'etrie est donn\'e.

\so
Exemples de calcul de la projection orthogonale sur un sous-espace de
dimension finie et de la distance \`a un tel sous-espace.






\bye
