X.1

Pas de difficulté.

X.2

Retrouver les instructions dans le tableau.
On commencera par obtenir la décomposition de GAUSS.
L'obtention de la factorisation de d' ALEMBERT est plus délicate de façon formelle. On commencera par la « factorisation approchée ».
Pour la factorisation formelle de d' ALEMBERT, on passera en option la liste {I,sqrt(3)} , indiquant ainsi que l'on cherche une factorisation avec des coefficients s'écrivant comme des polynômes en i et en radical de 3. (Je ne suis pas dupe ici, j'ai vu que j=-1/2+isqrt(3)/2 est racine.)

X.3

Retrouver les instructions dans le tableau.
La question est ici ouverte. Il faut donc commencer par formuler une conjecture. Rappelons que le test de divisibilité se fait en utilisant rem.
Rappelons aussi l'existence de la puissante fonction combine pour la manipulation et la simplification des expressions trigonométriques.
On n'hésitera pas à faire une boucle pour n compris entre 1 et 10 pour se faire une idée.
La conjecture formulée, mettre en place une démonstration, en utilisant le logiciel pour se décharger des calculs. (Penser au lien divisibilité/racine)

X.4

S'inspirer de ce qui a été fait à l'exercice X.2.

X.5

On utilisera ici le lien entre racine multipl et polynômes dérivés successifs.
Rappelons que la dérivation s'obtient en utilisant D(P) si P est une fonction (opérateur ->), ou en utilisant diff(P,x), lorsque P est une expression dépendant de la variable non affectée x.
Profitons-en pour rappeler que l'on peut passer de fonction à expression facilement, et d'expression à fonction en utilisant...

X.6

Il faut mettre en place un système à résoudre, dont les inconnues sont a et b.
assume permet de formuler une hypothèse, par exemples le fait qu'une variable est réelle non complexe.
conjugate, Re, Im sont utilisés lors de la manipulation des nombres complexes.
assign(%) permet l'affectations des solutions d'une équation, d'un système d'équations, après l'avoir résolu.

X.7

Exercice un peu plus délicat. Il y a plusieurs façons de s'y prendre, plus ou moins rapides. On pourra avantageusement utiliser les relations coefficients-racines.